Какой вывод можно сделать для каждого из указанных неравенств? Обоснуйте свой ответ для следующих случаев:

1. Неравенство не имеет решений:
   • a) x² + 4x - 10 ≤ 0;
   • b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0;
   • c) x² + 3x + 2 ≤ 0;
   • d) x² - 4 > 0.
2. Решением неравенства является вся числовая прямая.
3. Решением неравенства является одна точка.
4. Решением неравенства является закрытый промежуток.
5. Решением неравенства является открытый промежуток.
6. Решением неравенства является объединение двух промежутков.

Также, неравенство (x-a)(2x-1)(x + b) ≤ 0 имеет решение (-4; 1) u (5; ∞). Найдите значения a и b.

И, наконец, решите систему неравенств: 4x² - x ≥ 0, |x² - 3x - 28| < 0.

СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛЛОВ!

Алгебра 9 класс Неравенства неравенства алгебра 9 класс решения неравенств анализ неравенств числовая прямая промежутки решений система неравенств значения a и b Квадратные неравенства Новый

Давайте разберем каждое из указанных неравенств и сделаем выводы о их решениях.

1. Неравенство не имеет решений:

• a) x² + 4x - 10 ≤ 0

  Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения x² + 4x - 10 = 0 с помощью дискриминанта:

  1. Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-10) = 16 + 40 = 56 (D > 0).
  2. Корни уравнения: x1 = (-b + √D) / 2a и x2 = (-b - √D) / 2a, что даёт два различных корня.

  Таким образом, неравенство x² + 4x - 10 ≤ 0 имеет решения между корнями, но не включает их, так как неравенство не включает знак равенства. Следовательно, оно имеет решения.

• b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0

  Дискриминант D = 10² - 4 * (-2) * (-25) = 100 - 200 = -100 (D < 0).

  Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, неравенство не имеет решений.

• c) x² + 3x + 2 ≤ 0

  Дискриминант D = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 (D > 0).

  Корни: x1 = (-3 + 1) / 2 и x2 = (-3 - 1) / 2, что даёт два корня (-1 и -2). Неравенство x² + 3x + 2 ≤ 0 имеет решения в промежутке [-2; -1].

• d) x² - 4 > 0

  Дискриминант D = 0² - 4 * 1 * (-4) = 16 (D > 0).

  Корни: x1 = 2 и x2 = -2. Неравенство x² - 4 > 0 имеет решения вне интервала (-2; 2), то есть (-∞; -2) ∪ (2; ∞).

2. Решением неравенства является:

• Неравенство не имеет решений: b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0.
• Решением неравенства является закрытый промежуток: c) x² + 3x + 2 ≤ 0 ([-2; -1]).
• Решением неравенства является объединение двух промежутков: d) x² - 4 > 0 ((-∞; -2) ∪ (2; ∞)).
• Решением неравенства является открытый промежуток: d) x² - 4 > 0.

3. Найдите значения a и b:

Неравенство (x-a)(2x-1)(x+b) ≤ 0 имеет решение (-4; 1) u (5; ∞). Для этого найдем корни неравенства:

• Корень 1: x = a.
• Корень 2: x = 1/2.
• Корень 3: x = -b.

Согласно знакам, корни должны находиться в пределах (-4; 1) и (5; ∞). Таким образом, a = -4, b = 5.

4. Решите систему неравенств:

• 4x² - x ≥ 0

Факторизуем: x(4x - 1) ≥ 0. Корни: x = 0 и x = 1/4. Решение: x ≤ 0 или x ≥ 1/4.

• |x² - 3x - 28| < 0

Модуль не может быть меньше нуля, следовательно, это неравенство не имеет решений.

Таким образом, система неравенств имеет решение только для первого неравенства: x ≤ 0 или x ≥ 1/4.