Давайте по порядку решим каждое из заданных неравенств.

Сначала найдем корни уравнения 5x² - 2x - 3 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 5 * (-3) = 4 + 60 = 64.
• Корни уравнения находятся по формуле: x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a.
• Подставляем значения: x₁ = (2 + 8) / 10 = 1, x₂ = (2 - 8) / 10 = -0.6.

Теперь у нас есть корни x₁ = 1 и x₂ = -0.6. Рассмотрим интервалы:

• (-∞, -0.6)
• (-0.6, 1)
• (1, ∞)

Проверим знак функции на каждом из интервалов:

• Для x < -0.6 (например, x = -1): 5(-1)² - 2(-1) - 3 = 5 + 2 - 3 = 4 (положительно).
• Для -0.6 < x < 1 (например, x = 0): 5(0)² - 2(0) - 3 = -3 (отрицательно).
• Для x > 1 (например, x = 2): 5(2)² - 2(2) - 3 = 20 - 4 - 3 = 13 (положительно).

Таким образом, неравенство 5x² - 2x - 3 ≤ 0 выполняется на интервале [-0.6, 1].

Находим корни уравнения 2x² - 7x + 6 = 0:

• D = (-7)² - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1.
• x₁ = (7 + 1) / 4 = 2, x₂ = (7 - 1) / 4 = 1.5.

Корни: x₁ = 2, x₂ = 1.5. Рассматриваем интервалы:

• (-∞, 1.5)
• (1.5, 2)
• (2, ∞)

Проверяем знак функции:

• Для x < 1.5 (например, x = 1): 2(1)² - 7(1) + 6 = 1 (положительно).
• Для 1.5 < x < 2 (например, x = 1.75): 2(1.75)² - 7(1.75) + 6 = -0.125 (отрицательно).
• Для x > 2 (например, x = 3): 2(3)² - 7(3) + 6 = 3 (положительно).

Неравенство 2x² - 7x + 6 ≤ 0 выполняется на интервале [1.5, 2].

Находим корни уравнения 2x² - 3x + 1 = 0:

• D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.
• x₁ = (3 + 1) / 4 = 1, x₂ = (3 - 1) / 4 = 0.5.

Корни: x₁ = 1, x₂ = 0.5. Рассматриваем интервалы:

• (-∞, 0.5)
• (0.5, 1)
• (1, ∞)

Проверяем знак функции:

• Для x < 0.5 (например, x = 0): 2(0)² - 3(0) + 1 = 1 (положительно).
• Для 0.5 < x < 1 (например, x = 0.75): 2(0.75)² - 3(0.75) + 1 = -0.125 (отрицательно).
• Для x > 1 (например, x = 2): 2(2)² - 3(2) + 1 = 1 (положительно).

Неравенство 2x² - 3x + 1 > 0 выполняется на интервалах (-∞, 0.5) и (1, ∞).

Находим корни уравнения 7x² - 6x - 1 = 0:

• D = (-6)² - 4 * 7 * (-1) = 36 + 28 = 64.
• x₁ = (6 + 8) / 14 = 1, x₂ = (6 - 8) / 14 = -0.142857.

Корни: x₁ = 1, x₂ = -0.142857. Рассматриваем интервалы:

• (-∞, -0.142857)
• (-0.142857, 1)
• (1, ∞)

Проверяем знак функции:

• Для x < -0.142857 (например, x = -1): 7(-1)² - 6(-1) - 1 = 7 + 6 - 1 = 12 (положительно).
• Для -0.142857 < x < 1 (например, x = 0): 7(0)² - 6(0) - 1 = -1 (отрицательно).
• Для x > 1 (например, x = 2): 7(2)² - 6(2) - 1 = 13 (положительно).

Неравенство 7x² - 6x - 1 < 0 выполняется на интервале (-0.142857, 1).

Таким образом, мы нашли решения для всех неравенств:

• 5x² - 2x - 3 ≤ 0 на [-0.6, 1]
• 2x² - 7x + 6 ≤ 0 на [1.5, 2]
• 2x² - 3x + 1 > 0 на (-∞, 0.5) и (1, ∞)
• 7x² - 6x - 1 < 0 на (-0.142857, 1)