Пожалуйста, помогите решить следующие неравенства:

1. а) 2x^2 - x - 6 > 0
2. б) 3x^2 - 7x + 4 ≤ 0
3. в) 2x^2 + 3x + 1 < 0
4. г) 5x^2 - 11x + 2 ≥ 0

Алгебра 9 класс Неравенства второй степени неравенства алгебра решение неравенств Квадратные неравенства задачи по алгебре 9 класс алгебра Новый

Давайте разберем каждое из неравенств по порядку. Мы будем использовать метод нахождения корней квадратного уравнения и анализируем знаки на интервалах.

а) 2x^2 - x - 6 > 0

Сначала найдем корни уравнения 2x^2 - x - 6 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49.

Теперь находим корни:

• x1 = ( -b + √D ) / (2a) = (1 + 7) / 4 = 2.
• x2 = ( -b - √D ) / (2a) = (1 - 7) / 4 = -1.5.

Корни: x1 = 2 и x2 = -1.5. Теперь определим знаки на интервалах: (-∞, -1.5), (-1.5, 2), (2, +∞).

• Для x < -1.5, например, x = -2: 2(-2)^2 - (-2) - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 > 0.
• Для -1.5 < x < 2, например, x = 0: 2(0)^2 - (0) - 6 = -6 < 0.
• Для x > 2, например, x = 3: 2(3)^2 - (3) - 6 = 18 - 3 - 6 = 9 > 0.

Таким образом, неравенство 2x^2 - x - 6 > 0 выполняется на интервалах:

x < -1.5 и x > 2.

б) 3x^2 - 7x + 4 ≤ 0

Сначала находим дискриминант:

• D = (-7)^2 - 4 * 3 * 4 = 49 - 48 = 1.

Теперь находим корни:

• x1 = (7 + 1) / 6 = 8/6 = 4/3.
• x2 = (7 - 1) / 6 = 6/6 = 1.

Корни: x1 = 4/3 и x2 = 1. Анализируем знаки на интервалах: (-∞, 1), (1, 4/3), (4/3, +∞).

• Для x < 1, например, x = 0: 3(0)^2 - 7(0) + 4 = 4 > 0.
• Для 1 < x < 4/3, например, x = 1.1: 3(1.1)^2 - 7(1.1) + 4 < 0.
• Для x > 4/3, например, x = 2: 3(2)^2 - 7(2) + 4 = 12 - 14 + 4 = 2 > 0.

Таким образом, неравенство 3x^2 - 7x + 4 ≤ 0 выполняется на интервале:

1 ≤ x ≤ 4/3.

в) 2x^2 + 3x + 1 < 0

Находим дискриминант:

• D = (3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Корни:

• x1 = (-3 + 1) / 4 = -2/4 = -0.5.
• x2 = (-3 - 1) / 4 = -4/4 = -1.

Корни: x1 = -0.5 и x2 = -1. Анализируем знаки на интервалах: (-∞, -1), (-1, -0.5), (-0.5, +∞).

• Для x < -1, например, x = -2: 2(-2)^2 + 3(-2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0.
• Для -1 < x < -0.5, например, x = -0.75: 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) + 1 < 0.
• Для x > -0.5, например, x = 0: 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 > 0.

Таким образом, неравенство 2x^2 + 3x + 1 < 0 выполняется на интервале:

-1 < x < -0.5.

г) 5x^2 - 11x + 2 ≥ 0

Находим дискриминант:

• D = (-11)^2 - 4 * 5 * 2 = 121 - 40 = 81.

Корни:

• x1 = (11 + 9) / 10 = 20/10 = 2.
• x2 = (11 - 9) / 10 = 2/10 = 0.2.

Корни: x1 = 2 и x2 = 0.2. Анализируем знаки на интервалах: (-∞, 0.2), (0.2, 2), (2, +∞).

• Для x < 0.2, например, x = 0: 5(0)^2 - 11(0) + 2 = 2 > 0.
• Для 0.2 < x < 2, например, x = 1: 5(1)^2 - 11(1) + 2 < 0.
• Для x > 2, например, x = 3: 5(3)^2 - 11(3) + 2 = 45 - 33 + 2 = 14 > 0.

Таким образом, неравенство 5x^2 - 11x + 2 ≥ 0 выполняется на интервалах:

x ≤ 0.2 и x ≥ 2.

Теперь у нас есть решения для всех неравенств:

• а) x < -1.5 и x > 2.
• б) 1 ≤ x ≤ 4/3.
• в) -1 < x < -0.5.
• г) x ≤ 0.2 и x ≥ 2.