При каких значениях a три корня уравнения (x-a)(x²-5x+4)=0 будут различными и, если их упорядочить, образуют:

1. арифметическую прогрессию;
2. геометрическую прогрессию?

Алгебра 9 класс Уравнения с параметром алгебра 9 класс уравнение с корнями три корня арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия условия для корней значения a различие корней Новый

Чтобы решить задачу, начнем с уравнения:

(x-a)(x²-5x+4)=0

Это уравнение состоит из двух множителей. Первый множитель равен нулю, когда x = a. Второй множитель – это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Рассмотрим второй множитель:

x²-5x+4=0

Для нахождения корней этого уравнения используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac

Здесь a = 1, b = -5, c = 4. Подставим значения:

D = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9

Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения два различных корня. Найдем их:

x₁ = (5 + √D)/2 = (5 + 3)/2 = 4

x₂ = (5 - √D)/2 = (5 - 3)/2 = 1

Таким образом, корни второго множителя: x₁ = 4 и x₂ = 1. Теперь у нас есть три корня уравнения:

• x₁ = 4
• x₂ = 1
• x₃ = a

Теперь рассмотрим условия для корней:

1. **Арифметическая прогрессия**

Корни образуют арифметическую прогрессию, если разность между ними постоянна. Предположим, что корни упорядочены, тогда:

1, a, 4 (где a между 1 и 4)

Для арифметической прогрессии должно выполняться условие:

(a - 1) = (4 - a)

Решим это уравнение:

1. Сложим обе части: a - 1 + a = 4
2. 2a - 1 = 4
3. 2a = 5
4. a = 2.5

Таким образом, для арифметической прогрессии a должно быть равно 2.5.

2. **Геометрическая прогрессия**

Корни образуют геометрическую прогрессию, если отношение между ними постоянное. Предположим, что корни упорядочены, тогда:

1, a, 4

Для геометрической прогрессии должно выполняться условие:

(a/1) = (4/a)

Решим это уравнение:

1. a² = 4
2. a = ±2

Таким образом, для геометрической прогрессии a может быть равно 2 или -2.

В итоге, мы имеем:

• Для арифметической прогрессии: a = 2.5
• Для геометрической прогрессии: a = 2 или a = -2