Чтобы определить, при каких значениях параметра p уравнение x^2 - 2(p + 3)x + 16 = 0 имеет хотя бы один корень, нам нужно рассмотреть дискриминант данного квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где:

• a = 1
• b = -2(p + 3)
• c = 16

Дискриминант D для квадратного уравнения рассчитывается по формуле:

Подставим наши значения a, b и c в формулу для дискриминанта:

1. Вычислим b^2:
b^2 = (-2(p + 3))^2 = 4(p + 3)^2
2. Вычислим 4ac:
4ac = 4 * 1 * 16 = 64

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, дискриминант должен быть неотрицательным:

Теперь решим неравенство:

1. Запишем неравенство:
4(p + 3)^2 - 64 ≥ 0
2. Переносим 64 на другую сторону:
4(p + 3)^2 ≥ 64
3. Делим обе стороны на 4:
(p + 3)^2 ≥ 16
4. Теперь извлекаем квадратный корень:
|p + 3| ≥ 4

Это неравенство можно разбить на два случая:

• p + 3 ≥ 4
• p + 3 ≤ -4

Решим каждый случай:

1. Для первого случая:
p + 3 ≥ 4p ≥ 1
2. Для второго случая:
p + 3 ≤ -4p ≤ -7

Таким образом, уравнение x^2 - 2(p + 3)x + 16 = 0 имеет хотя бы один корень при следующих значениях параметра p: