При каких значениях параметра a уравнение 3x² - (a² - 5a + 6)x + 2a - 5 = 0 имеет два различных корня, которые равны по абсолютной величине?

Алгебра 9 класс Уравнения с параметром уравнение алгебра корни параметры квадратное уравнение различные корни абсолютная величина значения параметра a Новый

Чтобы решить данную задачу, начнем с анализа уравнения:

Уравнение имеет вид:

3x² - (a² - 5a + 6)x + (2a - 5) = 0.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля. Дискриминант D для квадратного уравнения Ax² + Bx + C = 0 вычисляется по формуле:

D = B² - 4AC.

В нашем случае:

• A = 3,
• B = -(a² - 5a + 6),
• C = 2a - 5.

Теперь подставим значения A, B и C в формулу для дискриминанта:

D = (-(a² - 5a + 6))² - 4 * 3 * (2a - 5).

Упростим это выражение:

D = (a² - 5a + 6)² - 12(2a - 5).

Теперь, чтобы уравнение имело два различных корня, должно выполняться условие:

D > 0.

Также, нам нужно, чтобы корни уравнения были равны по абсолютной величине. Это означает, что один корень должен быть положительным, а другой – отрицательным. Если обозначим корни как x1 и x2, то:

x1 = -x2.

Для квадратного уравнения Ax² + Bx + C = 0, сумма корней (по теореме Виета) равна:

x1 + x2 = -B/A.

Так как x1 + x2 = 0, то:

-B/A = 0.

Это означает, что B = 0. Подставим значение B:

-(a² - 5a + 6) = 0.

Решим это уравнение:

1. a² - 5a + 6 = 0.
2. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Корни уравнения:

a1 = (5 + √1) / 2 = 3,

a2 = (5 - √1) / 2 = 2.

Теперь у нас есть два значения a: 2 и 3. Теперь проверим, что для этих значений дискриминант D больше нуля:

Подставим a = 2:

D = (2² - 5*2 + 6)² - 12(2*2 - 5).

D = (4 - 10 + 6)² - 12(4 - 5) = (0)² - 12(-1) = 0 + 12 = 12 > 0.

Подставим a = 3:

D = (3² - 5*3 + 6)² - 12(2*3 - 5).

D = (9 - 15 + 6)² - 12(6 - 5) = (0)² - 12(1) = 0 - 12 = -12 < 0.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня, равных по абсолютной величине, только при a = 2.

Ответ: a = 2.