Ребята, помогите, пожалуйста :3

1. Как решить уравнение 1 - sin(2x) = (cos(2x) + sin(2x))^2?

Нужно найти самый маленький положительный корень.

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 9 класс уравнение с синусом и косинусом положительный корень тригонометрические уравнения Новый

Давайте решим уравнение 1 - sin(2x) = (cos(2x) + sin(2x))^2 шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим правую часть уравнения.

Начнем с того, что разложим квадрат на правой стороне:

• (cos(2x) + sin(2x))^2 = cos^2(2x) + 2sin(2x)cos(2x) + sin^2(2x).

Используя основное тригонометрическое тождество, мы знаем, что cos^2(2x) + sin^2(2x) = 1. Таким образом, мы можем заменить эту часть:

• 1 + 2sin(2x)cos(2x).

Теперь у нас есть:

• 1 - sin(2x) = 1 + 2sin(2x)cos(2x).

Шаг 2: Упростим уравнение.

Теперь вычтем 1 из обеих сторон:

• -sin(2x) = 2sin(2x)cos(2x).

Мы можем перенести все на одну сторону:

• 0 = sin(2x) + 2sin(2x)cos(2x.

Теперь вынесем sin(2x) за скобки:

• 0 = sin(2x)(1 + 2cos(2x)).

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что один из множителей равен нулю:

• sin(2x) = 0
• 1 + 2cos(2x) = 0

Шаг 4: Решим первое уравнение.

sin(2x) = 0, что означает, что:

• 2x = nπ, где n - целое число.
• x = nπ/2.

Шаг 5: Решим второе уравнение.

1 + 2cos(2x) = 0, что означает:

• 2cos(2x) = -1
• cos(2x) = -1/2.

Это происходит, когда:

• 2x = 2π/3 + 2kπ или 2x = 4π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• x = π/3 + kπ или x = 2π/3 + kπ.

Шаг 6: Найдем положительные корни.

Теперь давайте найдем самые маленькие положительные корни:

• Из первого уравнения: x = 0, π/2, π, 3π/2, ...
• Из второго уравнения: x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3, ...

Теперь сравним положительные корни:

• π/3 ≈ 1.05
• 2π/3 ≈ 2.09
• π/2 ≈ 1.57
• π ≈ 3.14

Самый маленький положительный корень - это π/3.

Итак, ответ: самый маленький положительный корень уравнения равен π/3.