Для решения неравенства (3x² + 29x - 10)(3x² - 10x + 3) < 0, нам нужно сначала определить, при каких значениях x произведение двух квадратных выражений будет отрицательным.

Шаг 1: Найдем корни каждого из множителей.

• Для первого множителя 3x² + 29x - 10:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 3, b = 29, c = -10.

Сначала находим дискриминант:

D = b² - 4ac = 29² - 4 * 3 * (-10) = 841 + 120 = 961.

Теперь находим корни:

x1 = (-29 + √961) / (2 * 3) = (-29 + 31) / 6 = 2 / 6 = 1/3.

x2 = (-29 - √961) / (2 * 3) = (-29 - 31) / 6 = -60 / 6 = -10.

• Для второго множителя 3x² - 10x + 3:

Также используем формулу для нахождения корней:

a = 3, b = -10, c = 3.

Находим дискриминант:

D = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64.

Теперь находим корни:

x1 = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 18 / 6 = 3.

x2 = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 2 / 6 = 1/3.

Таким образом, корни двух множителей:

• Первый множитель: x1 = 1/3, x2 = -10.
• Второй множитель: x1 = 3, x2 = 1/3.

Шаг 2: Определим промежутки, на которых произведение отрицательно.

Корни: -10, 1/3, 3.

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -10)
• (-10, 1/3)
• (1/3, 3)
• (3, +∞)

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, -10): выберем x = -11. Подставляем в выражение: (3*(-11)² + 29*(-11) - 10)(3*(-11)² - 10*(-11) + 3) > 0.
• Для интервала (-10, 1/3): выберем x = 0. Подставляем: (3*0² + 29*0 - 10)(3*0² - 10*0 + 3) < 0.
• Для интервала (1/3, 3): выберем x = 2. Подставляем: (3*2² + 29*2 - 10)(3*2² - 10*2 + 3) > 0.
• Для интервала (3, +∞): выберем x = 4. Подставляем: (3*4² + 29*4 - 10)(3*4² - 10*4 + 3) > 0.

Таким образом, произведение (3x² + 29x - 10)(3x² - 10x + 3) < 0 на интервале (-10, 1/3).

Шаг 3: Найдем целые решения в этом интервале.

Целые числа в интервале (-10, 1/3): -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Наименьшее целое решение: -9, наибольшее целое решение: 0.

Шаг 4: Найдем произведение наибольшего и наименьшего целых решений:

Произведение = (-9) * 0 = 0.

Ответ: Произведение наибольшего и наименьшего целых решений равно 0.