Давайте решим каждое из предложенных неравенств по порядку. Для этого мы будем использовать методы нахождения корней квадратных уравнений и анализ знаков.

Сначала найдем корни уравнения x² - 3x - 4 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.

Корни уравнения:

• x1 = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4.
• x2 = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -1.

Теперь мы знаем, что корни -1 и 4. Разделим числовую ось на интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак функции в каждом интервале:

• Для x < -1 (например, x = -2): (-2)² - 3*(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.
• Для -1 < x < 4 (например, x = 0): 0² - 3*0 - 4 = -4 < 0.
• Для x > 4 (например, x = 5): 5² - 3*5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.

Таким образом, неравенство x² - 3x - 4 < 0 выполняется на интервале (-1, 4).

Аналогично решим это неравенство, используя те же корни:

Неравенство выполняется на интервалах:

• (-∞, -1] ∪ [4, +∞).

Находим корни уравнения x² - 8x - 9 = 0:

• D = (-8)² - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100.

Корни:

• x1 = (8 + √100) / 2 = (8 + 10) / 2 = 9.
• x2 = (8 - √100) / 2 = (8 - 10) / 2 = -1.

Интервалы:

• (-∞, -1)
• (-1, 9)
• (9, +∞)

Проверяем знак:

• Для x < -1: 6 > 0.
• Для -1 < x < 9: -4 < 0.
• Для x > 9: 6 > 0.

Таким образом, неравенство x² - 8x - 9 < 0 выполняется на интервале (-1, 9).

Перепишем неравенство: x² - x - 6 ≤ 0. Находим корни:

• D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.

Корни:

• x1 = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3.
• x2 = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -2.

Интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 3)
• (3, +∞)

Проверяем знак:

• Для x < -2: 6 > 0.
• Для -2 < x < 3: -4 < 0.
• Для x > 3: 6 > 0.

Таким образом, неравенство -x² + x + 6 ≥ 0 выполняется на интервале [-2, 3].

Перепишем неравенство: x² + 2x - 48 > 0. Находим корни:

• D = (2)² - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196.

Корни:

• x1 = (-2 + √196) / 2 = (-2 + 14) / 2 = 6.
• x2 = (-2 - √196) / 2 = (-2 - 14) / 2 = -8.

Интервалы:

• (-∞, -8)
• (-8, 6)
• (6, +∞)

Проверяем знак:

• Для x < -8: 6 > 0.
• Для -8 < x < 6: -4 < 0.
• Для x > 6: 6 > 0.

Таким образом, неравенство -x² - 2x + 48 < 0 выполняется на интервале (-8, 6).

Находим корни уравнения 2x² + 3x - 5 = 0:

• D = (3)² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49.

Корни:

• x1 = (-3 + √49) / (2*2) = (-3 + 7) / 4 = 1.
• x2 = (-3 - √49) / (2*2) = (-3 - 7) / 4 = -2.5.

Интервалы:

• (-∞, -2.5)
• (-2.5, 1)
• (1, +∞)

Проверяем знак:

• Для x < -2.5: 6 > 0.
• Для -2.5 < x < 1: -4 < 0.
• Для x > 1: 6 > 0.

Таким образом, неравенство 2x² + 3x - 5 ≥ 0 выполняется на интервалах (-∞, -2.5] ∪ [1, +∞).

Теперь у нас есть решения для всех предложенных неравенств!