Для решения неравенства -3x² - 5x - 2 ≥ 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Для этого можем умножить обе части неравенства на -1, но не забудем, что при этом знак неравенства изменится на противоположный. Таким образом, получаем:

3x² + 5x + 2 ≤ 0

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение 3x² + 5x + 2 = 0, чтобы найти его корни. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

• a = 3
• b = 5
• c = 2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу для дискриминанта:

D = 5² - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1

Так как дискриминант D > 0, это означает, что уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x₁ = (-5 + √1) / (2 * 3) = (-5 + 1) / 6 = -4 / 6 = -2/3

x₂ = (-5 - √1) / (2 * 3) = (-5 - 1) / 6 = -6 / 6 = -1

Теперь у нас есть два корня: x₁ = -2/3 и x₂ = -1. Эти корни разделяют числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -1)
• (-1, -2/3)
• (-2/3, +∞)

Теперь проверим знак функции 3x² + 5x + 2 на каждом из этих интервалов, чтобы понять, где она меньше или равна нулю.

1. Для интервала (-∞, -1), например, возьмем x = -2:

   3(-2)² + 5(-2) + 2 = 12 - 10 + 2 = 4 (положительно)

2. Для интервала (-1, -2/3), например, возьмем x = -0.9:

   3(-0.9)² + 5(-0.9) + 2 = 3(0.81) - 4.5 + 2 = 2.43 - 4.5 + 2 = -0.07 (отрицательно)

3. Для интервала (-2/3, +∞), например, возьмем x = 0:

   3(0)² + 5(0) + 2 = 2 (положительно)

Таким образом, функция 3x² + 5x + 2 принимает отрицательные значения на интервале (-1, -2/3) и равна нулю в точках x = -1 и x = -2/3.

Итак, окончательный ответ на неравенство -3x² - 5x - 2 ≥ 0:

x ∈ [-2/3, -1]