Для решения неравенства (х² + 3х - 10) / (2х + 3) ≤ 0, давайте разберёмся с ним по шагам.

Сначала определим, где числитель равен нулю:

• Решаем уравнение: х² + 3х - 10 = 0.
• Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 3, c = -10.
• Считаем дискриминант: D = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
• Теперь находим корни: х₁ = (-3 + √49) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 2, х₂ = (-3 - √49) / 2 = (-3 - 7) / 2 = -5.

Таким образом, нули числителя: х₁ = 2 и х₂ = -5.

Теперь найдём, где знаменатель равен нулю:

• Решаем уравнение: 2х + 3 = 0.
• Находим х: 2х = -3, значит х = -3/2.

Теперь у нас есть три ключевых значения: х = -5, х = -3/2 и х = 2. Эти значения разбивают числовую ось на четыре интервала:

• (-∞, -5)
• (-5, -3/2)
• (-3/2, 2)
• (2, +∞)

Выберем тестовые значения из каждого интервала и подставим их в дробь (х² + 3х - 10) / (2х + 3):

• Для интервала (-∞, -5), например, х = -6:
• Числитель: (-6)² + 3*(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 (положительный).
• Знаменатель: 2*(-6) + 3 = -12 + 3 = -9 (отрицательный).
• Дробь: 8 / -9 < 0 (отрицательный).
• Для интервала (-5, -3/2), например, х = -4:
• Числитель: (-4)² + 3*(-4) - 10 = 16 - 12 - 10 = -6 (отрицательный).
• Знаменатель: 2*(-4) + 3 = -8 + 3 = -5 (отрицательный).
• Дробь: -6 / -5 > 0 (положительный).
• Для интервала (-3/2, 2), например, х = 0:
• Числитель: 0² + 3*0 - 10 = -10 (отрицательный).
• Знаменатель: 2*0 + 3 = 3 (положительный).
• Дробь: -10 / 3 < 0 (отрицательный).
• Для интервала (2, +∞), например, х = 3:
• Числитель: 3² + 3*3 - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 (положительный).
• Знаменатель: 2*3 + 3 = 6 + 3 = 9 (положительный).
• Дробь: 8 / 9 > 0 (положительный).

Теперь мы можем записать знаки дроби на каждом интервале:

• (-∞, -5): отрицательный
• (-5, -3/2): положительный
• (-3/2, 2): отрицательный
• (2, +∞): положительный

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю. Это происходит в интервалах:

• (-∞, -5] (включая -5, так как числитель равен нулю)
• [-3/2, 2] (включая -3/2, так как знаменатель не равен нулю и числитель отрицательный)

Решением неравенства является объединение интервалов: (-∞, -5] ∪ [-3/2, 2].