Чтобы решить неравенство x^2 + 10x - 25 > 0, мы начнем с нахождения корней соответствующего уравнения x^2 + 10x - 25 = 0.

Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 10, c = -25.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * (-25)
• D = 100 + 100 = 200

Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:

• x1 = (-10 + √200) / 2
• x2 = (-10 - √200) / 2

Упростим корни:

• √200 = √(100 * 2) = 10√2
• x1 = (-10 + 10√2) / 2 = -5 + 5√2
• x2 = (-10 - 10√2) / 2 = -5 - 5√2

Теперь у нас есть два корня: x1 = -5 + 5√2 и x2 = -5 - 5√2.

Следующий шаг - определить знаки выражения x^2 + 10x - 25 на интервалах, образованных корнями:

• (-∞, -5 - 5√2)
• (-5 - 5√2, -5 + 5√2)
• (-5 + 5√2, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:

1. Для интервала (-∞, -5 - 5√2): возьмем точку x = -10.
2. Для интервала (-5 - 5√2, -5 + 5√2): возьмем точку x = -5.
3. Для интервала (-5 + 5√2, +∞): возьмем точку x = 0.

Подставляя эти значения, мы получаем:

• Для x = -10: (-10)^2 + 10 * (-10) - 25 = 100 - 100 - 25 = -25 < 0
• Для x = -5: (-5)^2 + 10 * (-5) - 25 = 25 - 50 - 25 = -50 < 0
• Для x = 0: (0)^2 + 10 * (0) - 25 = 0 + 0 - 25 = -25 < 0

Теперь подведем итоги:

• На интервале (-∞, -5 - 5√2) выражение отрицательное.
• На интервале (-5 - 5√2, -5 + 5√2) выражение отрицательное.
• На интервале (-5 + 5√2, +∞) выражение положительное.

Таким образом, неравенство x^2 + 10x - 25 > 0 выполняется на интервале:

(-5 + 5√2, +∞)

Ответ: x ∈ (-5 + 5√2, +∞).