Для решения уравнения (x-1)^4 - 5(x^2-1)^2 + 4(x+1)^4 = 0, давайте сначала упростим выражение, чтобы оно стало более удобным для анализа.

Шаг 1: Раскроем скобки.

• (x - 1)^4 = (x^2 - 2x + 1)^2 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
• (x + 1)^4 = (x^2 + 2x + 1)^2 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
• (x^2 - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) - 5(x^4 - 2x^2 + 1) + 4(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) = 0

Шаг 2: Упростим уравнение.

Теперь соберем все члены:

• Первый член: x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
• Второй член: -5x^4 + 10x^2 - 5
• Третий член: 4x^4 + 16x^3 + 24x^2 + 16x + 4

Сложим все эти выражения:

(1 - 5 + 4)x^4 + (-4 + 16)x^3 + (6 + 10 + 24)x^2 + (-4 + 16)x + (1 - 5 + 4) = 0

Это дает:

0x^4 + 12x^3 + 40x^2 + 12x + 0 = 0

Или просто:

12x^3 + 40x^2 + 12x = 0

Шаг 3: Вынесем общий множитель.

В данном уравнении мы можем вынести общий множитель 4x:

4x(3x^2 + 10x + 3) = 0

Теперь у нас два случая:

• 4x = 0, что дает x = 0.
• 3x^2 + 10x + 3 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение 3x^2 + 10x + 3 = 0.

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-10 + 8) / 6 = -2/3,

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-10 - 8) / 6 = -3.

Шаг 5: Запишем все корни уравнения.

Таким образом, все корни уравнения:

• x = 0,
• x = -2/3,
• x = -3.

Ответ: x = 0, x = -2/3, x = -3.