В данной задаче нам нужно рассмотреть выражение:

sin a + sin 3a + sin 5a

cos a + cos 3a + cos 5a

Мы можем заметить, что это выражение представляет собой сумму синусов и косинусов. Чтобы упростить его, мы можем воспользоваться формулами для суммы синусов и косинусов.

Давайте рассмотрим, что мы можем сделать с каждой из этих сумм:

• Сначала найдем сумму синусов:

Сумма синусов может быть преобразована с помощью формулы:

sin x + sin y = 2 * sin((x + y)/2) * cos((x - y)/2)

В нашем случае мы можем разбить сумму на пары:

• sin a + sin 5a
• sin 3a (оставим отдельно)

Теперь применим формулу к паре sin a + sin 5a:

• x = a, y = 5a
• Тогда (x + y)/2 = (a + 5a)/2 = 3a
• (x - y)/2 = (a - 5a)/2 = -2a

Таким образом, получаем:

sin a + sin 5a = 2 * sin(3a) * cos(2a)

Теперь добавим sin 3a:

sin a + sin 3a + sin 5a = 2 * sin(3a) * cos(2a) + sin(3a) = sin(3a) * (2 * cos(2a) + 1)

Теперь рассмотрим сумму косинусов:

• Косинусы также можно суммировать:

cos x + cos y = 2 * cos((x + y)/2) * cos((x - y)/2)

Таким образом, аналогично, мы можем рассмотреть пары:

• cos a + cos 5a
• cos 3a (оставим отдельно)

Применяя формулу:

cos a + cos 5a = 2 * cos(3a) * cos(2a)

Теперь добавим cos 3a:

cos a + cos 3a + cos 5a = 2 * cos(3a) * cos(2a) + cos(3a) = cos(3a) * (2 * cos(2a) + 1)

Теперь у нас есть две упрощенные суммы:

• Синус: sin(3a) * (2 * cos(2a) + 1)
• Косинус: cos(3a) * (2 * cos(2a) + 1)

Теперь мы можем записать общее выражение:

(sin(3a) * (2 * cos(2a) + 1)) / (cos(3a) * (2 * cos(2a) + 1))

Если 2 * cos(2a) + 1 не равно нулю, то мы можем сократить:

tan(3a)

Таким образом, итоговый ответ:

tan(3a)