СРОЧНО!!!

Как можно доказать следующее тождество для острых углов α и β: (1+tg^2 α)^2-1/(cos^4 α)+3cos^2 β+2sin^2 β=2+cos^2 β?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества алгебра 9 класс тождество острые углы доказательство тождества тригонометрические функции углы альфа бета Новый

Для доказательства данного тождества начнем с левой части уравнения и будем упрощать ее, чтобы получить правую часть.

Левая часть: (1 + tg²α)² - 1/(cos⁴α) + 3cos²β + 2sin²β.

Шаг 1: Упростим (1 + tg²α)²

• Сначала вспомним, что tg²α = sin²α/cos²α.
• Тогда 1 + tg²α = 1 + sin²α/cos²α = (cos²α + sin²α)/cos²α = 1/cos²α.
• Теперь подставим это в квадрат: (1 + tg²α)² = (1/cos²α)² = 1/cos⁴α.

Шаг 2: Подставим в левую часть

• Теперь у нас есть: (1/cos⁴α) - 1/(cos⁴α) + 3cos²β + 2sin²β.
• Это упростится до: 0 + 3cos²β + 2sin²β = 3cos²β + 2sin²β.

Шаг 3: Упростим 3cos²β + 2sin²β

• Мы знаем, что sin²β + cos²β = 1, следовательно, 2sin²β = 2(1 - cos²β) = 2 - 2cos²β.
• Теперь подставим это в 3cos²β + 2sin²β: 3cos²β + (2 - 2cos²β) = 3cos²β + 2 - 2cos²β = cos²β + 2.

Шаг 4: Сравним с правой частью

• Теперь у нас есть: cos²β + 2.
• Правая часть уравнения: 2 + cos²β.
• Мы видим, что обе части равны: cos²β + 2 = 2 + cos²β.

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой части, и тождество верно:

(1 + tg²α)² - 1/(cos⁴α) + 3cos²β + 2sin²β = 2 + cos²β.