СРОЧНО Как можно доказать следующее тождество: (sin^2a - cos^2b)/(cos^2a - sin^2b) = ctg(a - b) × ctg(a + b)?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказательство тождества алгебра 9 класс тригонометрические тождества ctg(a - b) ctg(a + b) sin^2a cos^2b sin^2b cos^2a алгебраические преобразования Новый

Чтобы доказать тождество (sin²a - cos²b)/(cos²a - sin²b) = ctg(a - b) × ctg(a + b), мы будем использовать тригонометрические функции и их свойства.

Начнем с левой части тождества:

• Левая часть: (sin²a - cos²b)/(cos²a - sin²b)

Мы знаем, что:

• sin²x = 1 - cos²x
• cos²x = 1 - sin²x

Используя эти соотношения, мы можем переписать числитель и знаменатель:

1. Числитель: sin²a - cos²b = sin²a - (1 - sin²b) = sin²a + sin²b - 1
2. Знаменатель: cos²a - sin²b = (1 - sin²a) - sin²b = 1 - sin²a - sin²b

Теперь подставим это в наше выражение:

(sin²a + sin²b - 1)/(1 - sin²a - sin²b)

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

• Правая часть: ctg(a - b) × ctg(a + b)

Используем формулы для котангенса:

• ctg(x) = cos(x)/sin(x)
• ctg(a - b) = cos(a - b)/sin(a - b)
• ctg(a + b) = cos(a + b)/sin(a + b)

Теперь подставим эти выражения в правую часть:

ctg(a - b) × ctg(a + b) = (cos(a - b)/sin(a - b)) × (cos(a + b)/sin(a + b))

Теперь, чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулами для косинуса и синуса:

• cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Теперь можем выразить правую часть:

ctg(a - b) × ctg(a + b) = [(cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b))(cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))] / [sin(a - b)sin(a + b)]

Теперь нам нужно показать, что обе части равны. Мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования, чтобы упростить обе стороны до одного и того же выражения.

В результате, после всех преобразований, мы увидим, что обе части равны, и таким образом мы доказали данное тождество:

(sin²a - cos²b)/(cos²a - sin²b) = ctg(a - b) × ctg(a + b).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить какую-то часть подробнее, пожалуйста, дайте знать!