Упростите следующие выражения:

1. а) (1/(1+ctg^2a) + cos^2a) × tg^2a
2. б) (tg^2a/(1+tg^2a) + cos^2a) × cos^2a

Алгебра 9 класс Упрощение тригонометрических выражений упрощение выражений алгебра 9 класс Тригонометрия tg ctg cos математические выражения задачи по алгебре

Давайте упростим каждое из выражений по очереди.

а) (1/(1+ctg^2a) + cos^2a) × tg^2a

Шаг 1: Вспомним, что ctg^2a = 1/tg^2a. Подставим это в выражение.

Шаг 2: Упростим дробь:

• 1/(1 + 1/tg^2a) = 1/(tg^2a + 1)/tg^2a = tg^2a/(tg^2a + 1).

Шаг 3: Теперь подставим это обратно в выражение:

• (tg^2a/(tg^2a + 1) + cos^2a) × tg^2a.

Шаг 4: Объединим дроби:

• tg^2a/(tg^2a + 1) + cos^2a = (tg^2a + cos^2a(tg^2a + 1))/(tg^2a + 1) = (tg^2a + cos^2a * tg^2a + cos^2a)/(tg^2a + 1).

Шаг 5: Упростим числитель:

• (1 + cos^2a)tg^2a/(tg^2a + 1).

Шаг 6: Умножаем на tg^2a:

• tg^2a(1 + cos^2a)/(tg^2a + 1).

Таким образом, итоговое выражение:

(tg^2a(1 + cos^2a))/(tg^2a + 1)

б) (tg^2a/(1+tg^2a) + cos^2a) × cos^2a

Шаг 1: Начнем с выражения:

• (tg^2a/(1 + tg^2a) + cos^2a) × cos^2a.

Шаг 2: Объединим дроби:

• tg^2a/(1 + tg^2a) + cos^2a = (tg^2a + cos^2a(1 + tg^2a))/(1 + tg^2a) = (tg^2a + cos^2a + cos^2a * tg^2a)/(1 + tg^2a).

Шаг 3: Теперь у нас:

• (tg^2a + cos^2a + cos^2a * tg^2a)/(1 + tg^2a).

Шаг 4: Умножаем на cos^2a:

• (tg^2a + cos^2a + cos^2a * tg^2a) * cos^2a / (1 + tg^2a).

Шаг 5: Раскроем скобки:

• tg^2a * cos^2a + cos^4a + cos^2a * tg^2a * cos^2a / (1 + tg^2a).

Шаг 6: Упростим числитель:

• (2 * tg^2a * cos^2a + cos^4a) / (1 + tg^2a).

Таким образом, итоговое выражение:

(2 tg^2a cos^2a + cos^4a) / (1 + tg^2a)

Теперь у нас есть упрощенные выражения для обоих случаев!

Давайте упростим каждое из данных выражений шаг за шагом.

а) (1/(1+ctg^2a) + cos^2a) × tg^2a

1. Начнем с первого выражения: 1/(1 + ctg^2a). Мы знаем, что ctg^2a = 1/tg^2a. Подставим это значение:
2. 1/(1 + 1/tg^2a) = 1/((tg^2a + 1)/tg^2a) = tg^2a/(tg^2a + 1).
3. Теперь подставим это обратно в выражение:
4. (tg^2a/(tg^2a + 1) + cos^2a) × tg^2a.
5. Теперь упростим сумму внутри скобок:
6. tg^2a/(tg^2a + 1) + cos^2a = tg^2a/(tg^2a + 1) + (1 - sin^2a) = tg^2a/(tg^2a + 1) + (1 - (1 - cos^2a)) = tg^2a/(tg^2a + 1) + cos^2a.
7. Теперь перемножим это на tg^2a:
8. (tg^2a × tg^2a)/(tg^2a + 1) + cos^2a × tg^2a = tg^4a/(tg^2a + 1) + cos^2a × tg^2a.
9. Таким образом, окончательный результат:
10. tg^4a/(tg^2a + 1) + cos^2a × tg^2a.

б) (tg^2a/(1+tg^2a) + cos^2a) × cos^2a

1. Теперь перейдем ко второму выражению: tg^2a/(1 + tg^2a).
2. Теперь подставим это обратно в выражение:
3. (tg^2a/(1 + tg^2a) + cos^2a) × cos^2a.
4. Упростим сумму внутри скобок:
5. tg^2a/(1 + tg^2a) + cos^2a = tg^2a/(1 + tg^2a) + (1 - sin^2a) = tg^2a/(1 + tg^2a) + (1 - (1 - cos^2a)) = tg^2a/(1 + tg^2a) + cos^2a.
6. Теперь перемножим это на cos^2a:
7. (tg^2a × cos^2a)/(1 + tg^2a) + cos^4a.
8. Таким образом, окончательный результат:
9. tg^2a × cos^2a/(1 + tg^2a) + cos^4a.

Таким образом, мы упростили оба выражения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!