В футбольном турнире принимали участие 8 команд, и каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Известно, что любые две команды, которые сыграли вничью, в итоге набрали разное количество очков. Какое максимальное общее количество ничьих может быть в этом турнире? (За победу команда получает 3 очка, за ничью - 1, за поражение - 0)

Алгебра 9 класс Комбинаторика алгебра 9 класс задачи на турниры количество ничьих максимальное количество очков команды в турнире Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, сколько матчей всего сыграет каждая команда в турнире. Поскольку в турнире участвуют 8 команд и каждая команда играет с каждой по одному разу, общее количество матчей можно вычислить по формуле:

• Количество матчей = C(n, 2) = n(n-1)/2, где n - количество команд.

В нашем случае n = 8:

• Количество матчей = 8(8-1)/2 = 8*7/2 = 28.

Теперь, давайте рассмотрим, как распределяются очки в турнире. Каждая команда получает 3 очка за победу и 1 очко за ничью. Если мы обозначим количество ничьих как X, то:

• Общее количество очков, полученных всеми командами, равно 3*(количество побед) + X.

Теперь, учитывая условия задачи, если две команды сыграли вничью, они обе получили по 1 очку. Однако, согласно условию, любые две команды, которые сыграли вничью, в итоге набрали разное количество очков. Это означает, что если команда A сыграла вничью с командой B, то у них не может быть одинаковое количество очков, если они сыграли в ничью.

Теперь давайте проанализируем, как это влияет на количество ничьих. Если у нас есть X ничьих, то у нас есть 2X команд, которые получили по 1 очку. Остальные команды должны получить 3 очков за победы. Однако, чтобы у всех команд было разное количество очков, нужно, чтобы у каждой команды было уникальное количество очков.

Максимальное количество очков, которое может получить команда, составляет 21 (7 побед). Если у нас 8 команд, то минимальное количество очков, которое может получить команда, составляет 0 (0 побед). Следовательно, уникальные значения очков могут быть от 0 до 21, что дает нам 22 различных значения.

Но поскольку у нас 8 команд, и каждая команда может получить уникальные значения только в том случае, если они не сыграли вничью. Если хотя бы одна команда сыграла вничью, то количество уникальных значений уменьшится. Таким образом, мы можем сделать вывод, что максимальное количество ничьих, которое может быть в турнире, равно 7.

Таким образом, максимальное общее количество ничьих в этом турнире составляет:

7