В математической викторине всего 45 вопросов, с тремя правилами:

1. 3 балла дается за 1 правильный ответ
2. 2 балла вычитается за 1 неправильный ответ
3. 0 баллов, если не дали никакого ответа

Какое минимальное количество участников необходимо, чтобы гарантировать, что среди них найдется три человека с одинаковым количеством баллов?

Алгебра 9 класс Комбинаторика алгебра 9 класс математическая викторина количество участников одинаковое количество баллов правила викторины Новый

Для решения этой задачи давайте сначала определим, какое максимальное количество баллов может набрать участник викторины и какое минимальное количество баллов может быть у участника.

Максимальные баллы:

• Если участник отвечает правильно на все 45 вопросов, он получает 3 балла за каждый правильный ответ:
• Максимальные баллы = 45 вопросов * 3 балла = 135 баллов.

Минимальные баллы:

• Если участник отвечает неправильно на все 45 вопросов, он теряет 2 балла за каждый неправильный ответ:
• Минимальные баллы = 45 вопросов * (-2 балла) = -90 баллов.

Таким образом, диапазон возможных баллов для участников будет от -90 до 135.

Теперь найдем количество различных значений, которые может принимать итоговый балл:

• Баллы могут принимать целые значения от -90 до 135.
• Количество целых чисел в этом диапазоне можно найти следующим образом:

Количество значений = (максимальное значение - минимальное значение) + 1 = (135 - (-90)) + 1 = 135 + 90 + 1 = 226.

Теперь, чтобы гарантировать, что среди участников найдется хотя бы три человека с одинаковым количеством баллов, мы можем воспользоваться принципом Дирихле.

Принцип Дирихле: Если у нас есть n "коробок" и m "предметов", и если m > n, то хотя бы одна коробка будет содержать больше одного предмета.

В нашем случае "коробками" будут различные значения баллов (226 значений), а "предметами" — участники. Чтобы гарантировать, что хотя бы три участника имеют одинаковое количество баллов, нам необходимо, чтобы количество участников превышало 2 * 226 = 452.

Таким образом, нам нужно добавить еще одного участника, чтобы гарантировать, что хотя бы три человека имеют одинаковое количество баллов.

Итак, минимальное количество участников, необходимое для гарантии, что среди них найдется три человека с одинаковым количеством баллов, составляет: 453.