Вопрос: 28 учеников встали в круг и случайным образом получили номера от 1 до 28. Каждый ученик ответил «Да» или «Нет» на вопрос: «Делится ли твой номер на номер соседа справа?». Верных ответов оказалось больше, чем неверных. Какое максимальное количество учеников могло ответить «Да»?

Актуально до 12.00 МСК, 06.08.24.

Нужно решение- рассуждение.

Не писать решение в LaTeX.

Алгебра 9 класс Комбинаторика алгебра 9 класс делимость чисел задача на логику кружок учеников ответы Да Нет максимальное количество ответов соседи в круге математическая логика Новый

Для решения данной задачи нам нужно понять, как распределяются номера учеников и какие из них могут делиться на номера соседей. Рассмотрим, что у нас есть 28 учеников, и каждый из них имеет номер от 1 до 28. Они стоят в круге, и каждый ученик отвечает на вопрос о делимости своего номера на номер соседа справа.

Шаг 1: Анализ делимости

• Когда ученик с номером n отвечает «Да», это означает, что номер n делится на номер соседа справа, то есть на номер (n + 1) (при этом, если n = 28, то сосед справа - это номер 1).
• Чтобы ответ «Да» был верным, n должно быть кратно (n + 1), что возможно только в случае, если n = 1, так как 1 делится на любое число. Все остальные номера не могут делиться на следующий номер, так как n всегда больше (n + 1).

Шаг 2: Определение условий

• Теперь мы можем определить, что единственный случай, когда ученик отвечает «Да», это если его номер 1, и он может ответить «Да» на вопрос о делимости на номер 2.
• Таким образом, любой другой ученик, у которого номер больше 1, будет отвечать «Нет» на вопрос о делимости.

Шаг 3: Подсчет верных и неверных ответов

• Если 1 ученик отвечает «Да», а остальные 27 отвечают «Нет», то количество верных ответов (1) будет меньше количества неверных ответов (27).
• По условию задачи, верных ответов должно быть больше, чем неверных, значит, нам нужно увеличить количество ответов «Да».

Шаг 4: Поиск максимального количества ответов «Да»

• Чтобы максимизировать количество ответов «Да», можно рассмотреть ситуации, когда номера учеников имеют общие делители.
• Например, если мы возьмем всех четных учеников (2, 4, 6, ..., 28), то каждый из них будет делиться на номер соседа справа, который тоже четный. Таким образом, все четные номера ответят «Да».
• В таком случае у нас будет 14 учеников (четные номера от 2 до 28), которые могут ответить «Да», и 14 учеников (нечетные номера от 1 до 27), которые ответят «Нет».

Заключение

Таким образом, максимальное количество учеников, которые могут ответить «Да», равно 14, так как в этом случае количество верных ответов (14) будет равно количеству неверных ответов (14), и это не удовлетворяет условию задачи. Но если мы рассмотрим вариант, где 15 учеников ответят «Да», а 13 - «Нет», то это также не возможно.

В итоге, максимальное количество учеников, которые могут ответить «Да», равно 14, если мы будем учитывать, что четные номера могут делиться на соседей справа.