Вопрос: Несколько друзей обменивались рукопожатиями. В какой-то момент стало известно, что среди любых четырёх из них есть хотя бы один человек, который успел пожать руки трём остальным. Какое максимальное количество рукопожатий ещё могли сделать друзья?

Алгебра 9 класс Комбинаторика алгебра 9 класс задачи на рукопожатия комбинаторика максимальное количество рукопожатий друзья рукопожатия Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать понятие графа. Каждый друг будет представлять собой вершину графа, а каждое рукопожатие – ребро между вершинами. Условие задачи гласит, что среди любых четырёх друзей хотя бы один человек пожимал руки трём остальным. Это означает, что в любой группе из четырёх вершин графа обязательно найдётся хотя бы одна вершина, соединённая с тремя другими.

Давайте рассмотрим, сколько всего рукопожатий может произойти между n друзьями. Максимальное количество рукопожатий (ребер) в полном графе из n вершин можно вычислить по формуле:

• Количество рукопожатий = n * (n - 1) / 2.

Однако, нам нужно учитывать условие задачи. Рассмотрим, что если у нас есть 4 человека, и один из них пожимает руки всем троим остальным, то этот человек будет центром рукопожатий в этой группе. Это означает, что для любой группы из 4 человек, один из них должен иметь связи с тремя другими.

Теперь давайте проверим, сколько друзей может быть в общей сложности, чтобы соблюсти данное условие:

• Если у нас 4 человека, то они могут обменяться рукопожатиями, и условие будет выполнено.
• Если у нас 5 человек, то мы можем выбрать одну группу из 4 человек, и один из них должен пожать руки трем другим, что также возможно.
• Но если у нас 6 человек, то мы можем выбрать 4 из них, и в худшем случае может оказаться так, что ни один из них не пожимает руки трем другим, что нарушает условие.

Таким образом, максимальное количество друзей, которые могут обменяться рукопожатиями, чтобы соблюсти условие задачи, составляет 5.

Теперь, чтобы определить максимальное количество рукопожатий, когда у нас 5 друзей, мы подставим n = 5 в формулу:

• Количество рукопожатий = 5 * (5 - 1) / 2 = 5 * 4 / 2 = 10.

Таким образом, максимальное количество рукопожатий, которое ещё могли сделать друзья, составляет 10.