Для нахождения частной производной функции z(x, y) = 5x⁴y² по переменной y, необходимо следовать определённым шагам. Давайте разберёмся, как это сделать.

1. Запишите функцию: У нас есть функция z, которая зависит от двух переменных x и y: z(x, y) = 5x⁴y².
2. Определите, что такое частная производная: Частная производная функции по переменной y обозначается как ∂z/∂y и показывает, как изменяется функция z при изменении y, при фиксированном значении x.
3. Найдите производную: Мы будем дифференцировать z по y. В данной функции 5x⁴ является коэффициентом, который можно вынести за знак производной:
   • ∂z/∂y = ∂(5x⁴y²)/∂y = 5x⁴ * ∂(y²)/∂y.
4. Вычислите производную y²: Производная y² по y равна 2y:
   • ∂(y²)/∂y = 2y.
5. Подставьте результат в уравнение: Теперь подставим найденную производную обратно:
   • ∂z/∂y = 5x⁴ * 2y = 10x⁴y.

Таким образом, частная производная функции z(x, y) = 5x⁴y² по переменной y равна 10x⁴y.