Дан неопределенный интеграл ∫ sinx cos⁵ xdx.Вычислите его значение.

• 1/2 ⋅ tg(x²) + C.
• −3¹⁻⁵ˣ / 5ln3 + C.
• −cos⁶x / 6 + C.

Другие предметы Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл высшая математика колледж интегралы вычисление интегралов sinx cos5x математический анализ учебные задания решение задач Новый

Для вычисления неопределенного интеграла ∫ sin(x) cos⁵(x) dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Выбор подстановки: Мы видим, что у нас есть функция sin(x) и функция cos(x) в степени 5. Удобно взять подстановку u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx. Это значит, что sin(x) dx = -du.
2. Замена переменных: Подставим u в наш интеграл:
   • Когда x меняется, cos(x) меняется на u, и sin(x) dx заменяется на -du.
   • Таким образом, интеграл становится: ∫ sin(x) cos⁵(x) dx = -∫ u⁵ du.
3. Вычисление интеграла: Теперь мы можем вычислить интеграл:
   • -∫ u⁵ du = - (u⁶ / 6) + C = - (cos⁶(x) / 6) + C.
4. Запись окончательного ответа: Таким образом, мы получаем:
   • ∫ sin(x) cos⁵(x) dx = -cos⁶(x) / 6 + C.

Итак, правильный ответ на данный интеграл будет: -cos⁶(x) / 6 + C.