Для вычисления определенного интеграла ∫ (√x /(1 + √x))dx на отрезке от 0 до 1, давайте начнем с выполнения замены переменной, чтобы упростить интеграл.

Шаг 1: Замена переменной

Пусть u = √x. Тогда, x = u², и dx = 2u du. Теперь изменим пределы интегрирования:

• Когда x = 0, u = √0 = 0.
• Когда x = 1, u = √1 = 1.

Таким образом, наш интеграл преобразуется в:

∫ (u / (1 + u)) * (2u) du от 0 до 1.

Шаг 2: Упрощение интеграла

Теперь упростим интеграл:

∫ (2u² / (1 + u)) du от 0 до 1.

Шаг 3: Разделение на части

Разделим дробь:

2u² / (1 + u) = 2u² / (1 + u) = 2u² * (1 - (1 / (1 + u))) = 2u² - (2u² / (1 + u)).

Теперь интеграл можно записать как:

∫ (2u² - (2u² / (1 + u))) du от 0 до 1.

Шаг 4: Интегрирование

Теперь мы можем вычислить два отдельных интеграла:

1. ∫ 2u² du = (2/3)u³ от 0 до 1 = (2/3)(1³) - (2/3)(0³) = 2/3.
2. ∫ (2u² / (1 + u)) du.

Для второго интеграла можно использовать метод интегрирования по частям или разложение в ряд, но для простоты мы можем воспользоваться известной формулой:

∫ (u² / (1 + u)) du = u² - 2ln(1 + u) + C.

Тогда:

∫ (2u² / (1 + u)) du = 2[u² - 2ln(1 + u)] от 0 до 1.

Подставляем пределы:

2[(1² - 2ln(1 + 1)) - (0² - 2ln(1 + 0))] = 2[(1 - 2ln(2)) - (0 - 0)] = 2(1 - 2ln(2)) = 2 - 4ln(2).

Шаг 5: Объединение результатов

Теперь объединим результаты двух интегралов:

∫ (√x /(1 + √x))dx от 0 до 1 = (2/3) - (2 - 4ln(2)) = (2/3) - 2 + 4ln(2).

Теперь упростим:

=(2/3 - 6/3 + 4ln(2)) = (-4/3 + 4ln(2)) = 4ln(2) - 4/3.

Шаг 6: Запись окончательного результата

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (√x /(1 + √x))dx на отрезке от 0 до 1 равно:

4ln(2) - 4/3.