Похожие вопросы
2025-03-14 16:22:09
Вычислите определенный интеграл ∫ eˣdx / (eˣ + 5), x=0..1
Другие предметы Колледж Определенные интегралы математический анализ определенный интеграл интеграл e^x интегралы для колледжа вычисление интеграла интеграл от функции интегралы в математике колледж математика методы интегрирования
2025-07-19 17:59:56
Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ eˣ / (eˣ + 5) dx на интервале от 0 до 1, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте разберем шаги этого процесса:
-
Выбор подстановки: Поскольку у нас в знаменателе выражение eˣ + 5, удобно сделать подстановку, которая упростит интеграл. Пусть u = eˣ + 5.
-
Найти производную: Теперь найдем производную du/dx. Поскольку u = eˣ + 5, производная будет: du/dx = eˣ.
-
Выразить dx: Из производной мы можем выразить dx как dx = du/eˣ.
-
Подставить в интеграл: Теперь заменим в интеграле:
- Исходный интеграл: ∫ eˣ / (eˣ + 5) dx
- Подстановка: ∫ 1/u du
Здесь мы использовали тот факт, что eˣ dx заменяется на du, и eˣ + 5 заменяется на u.
-
Пределы интегрирования: Теперь нужно изменить пределы интегрирования:
- Когда x = 0, u = e⁰ + 5 = 6.
- Когда x = 1, u = e¹ + 5 = e + 5.
-
Вычисление интеграла: Интеграл ∫ 1/u du равен ln|u|. Таким образом, интеграл от 6 до e + 5 будет:
[ln(u)] от 6 до e + 5
Это равно ln(e + 5) - ln(6).
-
Упрощение выражения: Разность логарифмов можно записать как логарифм отношения:
ln((e + 5)/6)
Таким образом, значение определенного интеграла ∫ eˣ / (eˣ + 5) dx от 0 до 1 равно ln((e + 5)/6).
