Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (1/2 t + 4t²) dt на интервале от t = -1 до t = +1, следуйте следующим шагам:

1. Найдите неопределенный интеграл (первообразную функцию):
   • Разделите интеграл на два отдельных слагаемых: ∫ (1/2 t) dt и ∫ (4t²) dt.
   • Вычислите первообразную для каждого слагаемого:
     • Для ∫ (1/2 t) dt:
       • Используйте правило интегрирования степенной функции: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C.
       • Здесь n = 1, поэтому первообразная будет (1/2) * (t^(1+1))/(1+1) = (1/4) * t².
     • Для ∫ (4t²) dt:
       • Примените то же правило: n = 2, поэтому первообразная будет (4) * (t^(2+1))/(2+1) = (4/3) * t³.
   • Сложите полученные первообразные: (1/4) * t² + (4/3) * t³.
2. Вычислите определенный интеграл, используя теорему Ньютона-Лейбница:
   • Подставьте пределы интегрирования в первообразную функцию и найдите разность:
     • Верхний предел (t = +1):
       • (1/4) * (1)² + (4/3) * (1)³ = 1/4 + 4/3.
     • Нижний предел (t = -1):
       • (1/4) * (-1)² + (4/3) * (-1)³ = 1/4 - 4/3.
   • Вычислите разность между значениями первообразной функции при верхнем и нижнем пределах:
     • (1/4 + 4/3) - (1/4 - 4/3) = 1/4 + 4/3 - 1/4 + 4/3 = 8/3.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (1/2 t + 4t²) dt от t = -1 до t = +1 равно 8/3.