Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ √(6x – 2) dx на интервале от x = 1 до x = 3, следуйте следующим шагам:
1. **Замена переменной:**
Для упрощения интеграла, сделаем замену переменной. Пусть u = 6x - 2. Тогда производная u по x будет du/dx = 6, или du = 6 dx. Отсюда dx = du/6.
2. **Пределы интегрирования:**
Теперь нужно изменить пределы интегрирования в соответствии с новой переменной u:
- Когда x = 1, u = 6(1) - 2 = 4.
- Когда x = 3, u = 6(3) - 2 = 16.
3. **Подстановка в интеграл:**
Подставим замену в интеграл:
∫ √(6x - 2) dx = ∫ √u * (1/6) du.
Это можно переписать как:
(1/6) ∫ √u du.
4. **Вычисление интеграла:**
Интеграл от √u равен (2/3)u^(3/2) + C, где C - константа интегрирования. Таким образом:
(1/6) * (2/3) * u^(3/2) = (1/9) * u^(3/2).
5. **Подстановка пределов интегрирования:**
Теперь подставим пределы интегрирования u = 4 и u = 16 в найденное выражение:
- Верхний предел: (1/9) * (16)^(3/2).
- Нижний предел: (1/9) * (4)^(3/2).
6. **Вычисление значений:**
- (16)^(3/2) = (sqrt(16))^3 = 4^3 = 64.
- (4)^(3/2) = (sqrt(4))^3 = 2^3 = 8.
Подставляем эти значения в выражение:
- Верхний предел: (1/9) * 64 = 64/9.
- Нижний предел: (1/9) * 8 = 8/9.
7. **Вычисление разности:**
Теперь вычтем нижний предел из верхнего:
(64/9) - (8/9) = 56/9.
Таким образом, значение определенного интеграла ∫ √(6x – 2) dx от x = 1 до x = 3 равно 56/9.
