Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (√x /(1 + √x))dx от 0 до 1, мы начнем с подстановки. Это поможет упростить интеграл и сделать его более удобным для вычисления.

Шаг 1: Подстановка.

• Пусть u = √x. Тогда x = u² и dx = 2u du.
• Пределы интегрирования изменятся: когда x = 0, u = 0; когда x = 1, u = 1.

Теперь интеграл переписывается как:

∫ (u / (1 + u)) * 2u du от 0 до 1.

Это можно упростить до:

∫ (2u² / (1 + u)) du от 0 до 1.

Шаг 2: Разделение дроби.

Чтобы интегрировать, разделим дробь:

2u² / (1 + u) = 2u - 2u/(1 + u).

Таким образом, интеграл становится:

∫ (2u - 2u/(1 + u)) du от 0 до 1.

Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно.

Шаг 3: Интегрирование.

• Интеграл ∫ 2u du = u².
• Интеграл ∫ 2u/(1 + u) du можно решить с помощью метода интегрирования по частям или подстановки. Подставим v = 1 + u, тогда dv = du, и интеграл станет: ∫ (2(v - 1)/v) dv = ∫ (2 - 2/v) dv = 2v - 2ln|v|.

Теперь подставим обратно v = 1 + u:

∫ (2u - 2u/(1 + u)) du = u² - (2u - 2ln|1 + u|) от 0 до 1.

Шаг 4: Подстановка пределов интегрирования.

• Подставим u = 1: 1² - (2*1 - 2ln|1 + 1|) = 1 - (2 - 2ln2) = 1 - 2 + 2ln2 = -1 + 2ln2.
• Подставим u = 0: 0² - (2*0 - 2ln|1 + 0|) = 0 - 0 = 0.

Таким образом, значение интеграла будет:

(-1 + 2ln2) - 0 = -1 + 2ln2.

Таким образом, окончательный ответ:

√(3)π / 3 − ln21/32ln2 − 1 = -1 + 2ln2.

Этот ответ совпадает с выражением, которое вы предоставили, показывая, что интеграл действительно равен -1 + 2ln2.