Дана функция: z=x2-2xy2+y3. Найдите частные производные второго порядка для этой функции.

Другие предметы Колледж Частные производные частные производные функция математика колледж производные второго порядка z=x2-2xy2+y3 Новый

Для нахождения частных производных второго порядка функции z = x² - 2xy² + y³, сначала найдем частные производные первого порядка по переменным x и y, а затем вычислим частные производные второго порядка.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

• Частная производная по x:
1. Вычисляем производную z по x, рассматривая y как константу:
2. dz/dx = 2x - 2y².
• Частная производная по y:
1. Вычисляем производную z по y, рассматривая x как константу:
2. dz/dy = -4xy + 3y².

Шаг 2: Найдем частные производные второго порядка.

• Частная производная второго порядка по x:
1. Вычисляем производную dz/dx по x:
2. d²z/dx² = d(2x - 2y²)/dx = 2.
• Частная производная второго порядка по y:
1. Вычисляем производную dz/dy по y:
2. d²z/dy² = d(-4xy + 3y²)/dy = -4x + 6y.
• Смешанная производная:
1. Вычисляем производную dz/dx по y:
2. d²z/dxdy = d(2x - 2y²)/dy = -4y.
3. Вычисляем производную dz/dy по x:
4. d²z/dydx = d(-4xy + 3y²)/dx = -4y.

Таким образом, мы получили частные производные второго порядка:

• d²z/dx² = 2
• d²z/dy² = -4x + 6y
• d²z/dxdy = d²z/dydx = -4y

Эти результаты показывают, как меняется функция z в зависимости от переменных x и y на втором уровне производных.