Дана функция z = x²siny, z''xx.
Найдите частные производные второго порядка для этой функции.

• -6x² siny.
• -3x² siny.
• -x² siny.

Другие предметы Колледж Частные производные высшая математика частные производные функции колледж производные второго порядка z = x²siny математика для колледжа задачи по высшей математике Новый

Для нахождения частных производных второго порядка функции z = x² sin(y), нам нужно сначала найти первую частную производную по переменной x, а затем уже вторую производную.

1. Найдем первую частную производную z по x:
   • Функция z = x² sin(y).
   • Используем правило дифференцирования: если u = x² и v = sin(y), то z = u * v.
   • Первая производная будет: z'x = d/dx (x²) * sin(y) + x² * d/dx (sin(y))
     • Поскольку sin(y) является константой по отношению к x, d/dx (sin(y)) = 0.
     • Следовательно, z'x = 2x sin(y).
2. Теперь найдем вторую частную производную z по x:
   • Теперь у нас есть z'x = 2x sin(y).
   • Найдем производную z'x по x: z''xx = d/dx (2x sin(y)).
   • Поскольку sin(y) является константой, мы можем записать: z''xx = 2 sin(y).

Таким образом, в результате мы получили, что вторая частная производная z по x равна 2 sin(y).

Теперь давайте найдем частные производные второго порядка по переменной y.

1. Найдем первую частную производную z по y:
   • Функция z = x² sin(y).
   • Используем правило дифференцирования: z'y = d/dy (x²) * sin(y) + x² * d/dy (sin(y)).
   • Поскольку x² является константой по отношению к y, d/dy (x²) = 0.
   • Следовательно, z'y = x² cos(y).
2. Теперь найдем вторую частную производную z по y:
   • Теперь у нас есть z'y = x² cos(y).
   • Найдем производную z'y по y: z''yy = d/dy (x² cos(y)).
   • Поскольку x² является константой, мы получаем: z''yy = -x² sin(y).

Таким образом, вторая частная производная z по y равна -x² sin(y).

В итоге, у нас есть:

• z''xx = 2 sin(y)
• z''yy = -x² sin(y)

Таким образом, мы нашли все необходимые частные производные второго порядка для данной функции.