Дана система уравнений -3 x1 + x2 + 2 · x3 = 0.
x1 +2х2 - x3 = 1
x1 +4·x2 + 3х3 = 2
Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?

Другие предметы Колледж Системы линейных уравнений система уравнений решения системы математика колледж линейные уравнения количество решений метод Гаусса анализ решений линейная алгебра Новый

Чтобы определить количество решений данной системы уравнений, мы можем использовать метод Гаусса для приведения системы к ступенчатому виду. Сначала запишем систему уравнений:

• -3x1 + x2 + 2x3 = 0
• x1 + 2x2 - x3 = 1
• x1 + 4x2 + 3x3 = 2

Теперь представим эту систему в виде матрицы коэффициентов:

| -3  1  2 | 0 |
|  1  2 -1 | 1 |
|  1  4  3 | 2 |

Теперь мы будем выполнять операции над строками, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду. Начнем с того, что сделаем первый элемент первой строки равным 1. Для этого можно поменять местами первую и вторую строки:

|  1  2 -1 | 1 |
| -3  1  2 | 0 |
|  1  4  3 | 2 |

Теперь мы можем избавиться от первого элемента во второй и третьей строках. Для этого добавим 3 раза первую строку ко второй и вычтем первую строку из третьей:

|  1  2 -1 | 1 |
|  0  7 -1 | 3 |
|  0  2  4 | 1 |

Теперь мы можем упростить вторую строку, поделив её на 7:

|  1  2 -1 | 1 |
|  0  1 -1/7 | 3/7 |
|  0  2  4 | 1 |

Теперь вычтем 2 раза вторую строку из третьей строки:

|  1  2 -1 | 1 |
|  0  1 -1/7 | 3/7 |
|  0  0  4 + 2/7 | -5/7 |

Теперь мы видим, что третья строка может быть упрощена. Упростим её:

|  1  2 -1 | 1 |
|  0  1 -1/7 | 3/7 |
|  0  0  29/7 | -5/7 |

Теперь мы можем выразить x3 через свободные переменные. Для этого умножим третью строку на 7/29:

|  1  2 -1 | 1 |
|  0  1 -1/7 | 3/7 |
|  0  0  1 | -5/29 |

Теперь мы можем выразить x2 и x1 через x3:

x3 = -5/29
x2 = 3/7 + (1/7)(5/29)
x1 = 1 - 2x2 + x3

В результате мы видим, что у нас есть одно решение для данной системы уравнений, так как мы смогли выразить все переменные через известные значения без появления свободных переменных.

Ответ: Система имеет единственное решение, так как после приведения к ступенчатому виду мы не получили ни одной свободной переменной и все переменные можно выразить через известные значения.