Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2. Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?

• Система имеет 1 решение, так как система совместна.
• Система имеет 3 решения, так как в системе 3 неизвестных.
• Система имеет бесконечное число решений, так как система несовместна.

Другие предметы Колледж Системы линейных уравнений система уравнений решения системы совместные уравнения математика колледж количество решений линейные уравнения методы решения уравнений Новый

Давайте разберемся с данной системой линейных уравнений:

• x₁ + 2x₂ − x₃ = 1
• −3x₁ + x₂ + 2x₃ = 0
• x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 2

Для того чтобы определить, сколько решений имеет система, нужно выяснить, является ли она совместной и определенной. Совместная система - это система, у которой есть хотя бы одно решение. Определенная система - это система, у которой есть единственное решение.

Рассмотрим шаги для решения этой задачи:

1. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого будем выполнять элементарные преобразования строк (сложение, вычитание, умножение на число).
2. Начнем с первой строки: x₁ + 2x₂ − x₃ = 1.
3. Умножим первую строку на 3 и сложим со второй строкой, чтобы исключить x₁ из второго уравнения:
   • (3) * (x₁ + 2x₂ − x₃) + (−3x₁ + x₂ + 2x₃) = (3) * 1 + 0
   • Получаем: 7x₂ − x₃ = 3.
4. Теперь преобразуем третье уравнение. Из первой строки вычтем третью, чтобы исключить x₁:
   • (x₁ + 2x₂ − x₃) − (x₁ + 4x₂ + 3x₃) = 1 − 2
   • Получаем: −2x₂ − 4x₃ = −1.
5. Теперь система имеет вид:
   • x₁ + 2x₂ − x₃ = 1
   • 7x₂ − x₃ = 3
   • −2x₂ − 4x₃ = −1
6. Преобразуем третье уравнение, чтобы исключить x₂:
   • Умножим второе уравнение на 2 и сложим с третьим уравнением:
   • (2) * (7x₂ − x₃) + (−2x₂ − 4x₃) = (2) * 3 − 1
   • Получаем: 10x₂ − 6x₃ = 5.
7. Теперь система имеет вид:
   • x₁ + 2x₂ − x₃ = 1
   • 7x₂ − x₃ = 3
   • 10x₂ − 6x₃ = 5
8. На данном этапе видно, что система имеет противоречие, так как выражения для x₂ и x₃ в последних двух уравнениях несовместны.

Таким образом, система уравнений несовместна, и следовательно, не имеет решений. Правильный ответ: система имеет бесконечное число решений, так как система несовместна, — не верен, так как на самом деле она не имеет решений вовсе.