Чтобы решить систему линейных уравнений, мы можем использовать метод подстановки, метод Крамера или метод Гаусса. Давайте решим данную систему методом Гаусса, который включает в себя приведение матрицы коэффициентов к треугольному виду.

Дана система уравнений:

• 2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5
• x₁ + x₂ − 3x₃ = 7
• 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1

Сначала составим расширенную матрицу системы:

• [2 -3 1 | 5]
• [1 1 -3 | 7]
• [5 -1 6 | 1]

Первым шагом будет приведение первого элемента первой строки к 1, если это возможно. В данном случае мы можем просто поменять местами первую и вторую строки:

• [1 1 -3 | 7]
• [2 -3 1 | 5]
• [5 -1 6 | 1]

Теперь используем первый элемент первой строки для обнуления первого элемента во второй и третьей строках. Для этого:

1. Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 2:
• 2 * [1 1 -3 | 7] = [2 2 -6 | 14]
• [2 -3 1 | 5] - [2 2 -6 | 14] = [0 -5 7 | -9]
2. Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 5:
• 5 * [1 1 -3 | 7] = [5 5 -15 | 35]
• [5 -1 6 | 1] - [5 5 -15 | 35] = [0 -6 21 | -34]

Теперь матрица выглядит так:

• [1 1 -3 | 7]
• [0 -5 7 | -9]
• [0 -6 21 | -34]

Следующим шагом будет приведение второго элемента второй строки к 1. Для этого разделим вторую строку на -5:

• [0 1 -7/5 | 9/5]

Теперь используем второй элемент второй строки для обнуления второго элемента в третьей строке. Для этого:

1. Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на -6:
• -6 * [0 1 -7/5 | 9/5] = [0 -6 42/5 | -54/5]
• [0 -6 21 | -34] - [0 -6 42/5 | -54/5] = [0 0 63/5 | -116/5]

Теперь матрица выглядит так:

• [1 1 -3 | 7]
• [0 1 -7/5 | 9/5]
• [0 0 63/5 | -116/5]

Теперь мы можем найти x₃, так как в третьей строке остался только один неизвестный:

• 63/5 * x₃ = -116/5
• x₃ = -116/63

Теперь подставим x₃ в уравнение второй строки, чтобы найти x₂:

• x₂ - 7/5 * (-116/63) = 9/5
• x₂ + 812/315 = 9/5
• x₂ = 9/5 - 812/315
• x₂ = 567/315 - 812/315
• x₂ = -245/315
• x₂ = -49/63

Наконец, подставим x₂ и x₃ в уравнение первой строки, чтобы найти x₁:

• x₁ + (-49/63) - 3*(-116/63) = 7
• x₁ - 49/63 + 348/63 = 7
• x₁ + 299/63 = 7
• x₁ = 7 - 299/63
• x₁ = 441/63 - 299/63
• x₁ = 142/63

Таким образом, решение системы:

• x₁ = 142/63
• x₂ = -49/63
• x₃ = -116/63