Чтобы найти общее решение данной системы линейных уравнений, необходимо проверить, удовлетворяют ли предложенные решения всем уравнениям системы. Давайте разберем каждое из предложенных решений и подставим их в уравнения, чтобы определить, какое из них действительно является решением системы.
Итак, у нас есть система уравнений:
1. 9x₁ − 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 4
2. 6x₁ − 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5
3. 3x₁ − x₂ + 3x₃ + 14x₄ = −81
И предложенные решения:
1. {x₁ = c; x₂ = 11 + c; x₃ = −7; x₄ = 0}
2. {x₁ = c; x₂ = 13 + c; x₃ = −7; x₄ = 13}
3. {x₁ = 1 − c; x₂ = 13 + c; x₃ = −7; x₄ = 0}
4. {x₁ = c; x₂ = 3c − 13; x₃ = −7; x₄ = 0}
Рассмотрим каждое из них:
Решение 1:
- x₁ = c
- x₂ = 11 + c
- x₃ = -7
- x₄ = 0
Подставим в первое уравнение:
9c - 3(11 + c) + 5(-7) + 6(0) = 4
9c - 33 - 3c - 35 = 4
6c - 68 = 4
6c = 72
c = 12
Теперь проверим второе уравнение:
6(12) - 2(11 + 12) + 3(-7) + 4(0) = 5
72 - 46 - 21 = 5
5 = 5 (верно)
Проверим третье уравнение:
3(12) - (11 + 12) + 3(-7) + 14(0) = -81
36 - 23 - 21 = -81
-8 ≠ -81 (неверно)
Решение 2:
- x₁ = c
- x₂ = 13 + c
- x₃ = -7
- x₄ = 13
Подставим в первое уравнение:
9c - 3(13 + c) + 5(-7) + 6(13) = 4
9c - 39 - 3c - 35 + 78 = 4
6c + 4 = 4
6c = 0
c = 0
Проверим второе уравнение:
6(0) - 2(13 + 0) + 3(-7) + 4(13) = 5
0 - 26 - 21 + 52 = 5
5 = 5 (верно)
Проверим третье уравнение:
3(0) - (13 + 0) + 3(-7) + 14(13) = -81
0 - 13 - 21 + 182 = -81
148 ≠ -81 (неверно)
Решение 3:
- x₁ = 1 - c
- x₂ = 13 + c
- x₃ = -7
- x₄ = 0
Подставим в первое уравнение:
9(1 - c) - 3(13 + c) + 5(-7) + 6(0) = 4
9 - 9c - 39 - 3c - 35 = 4
-12c - 65 = 4
-12c = 69
c = -5.75
Проверим второе уравнение:
6(1 + 5.75) - 2(13 - 5.75) + 3(-7) + 4(0) = 5
39 - 14.5 - 21 = 5
3.5 ≠ 5 (неверно)
Решение 4:
- x₁ = c
- x₂ = 3c - 13
- x₃ = -7
- x₄ = 0
Подставим в первое уравнение:
9c - 3(3c - 13) + 5(-7) + 6(0) = 4
9c - 9c + 39 - 35 = 4
4 = 4 (верно)
Проверим второе уравнение:
6c - 2(3c - 13) + 3(-7) + 4(0) = 5
6c - 6c + 26 - 21 = 5
5 = 5 (верно)
Проверим третье уравнение:
3c - (3c - 13) + 3(-7) + 14(0) = -81
3c - 3c + 13 - 21 = -81
-8 ≠ -81 (неверно)
Таким образом, ни одно из предложенных решений не удовлетворяет всем уравнениям системы. Каждое из решений либо неверно, либо требует дополнительных условий для c.
