Похожие вопросы
2025-08-25 01:20:41
Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ - x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2.
Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?
- Система имеет 1 решение, так как система совместна.
- Система имеет 3 решения, так как в системе 3 неизвестных.
- Система имеет бесконечное число решений, так как система несовместна.
Другие предметы Колледж Системы линейных уравнений высшая математика система уравнений решения системы совместные системы несовместные системы количество решений колледж математические задачи линейные уравнения методы решения Новый
2025-08-25 01:20:50
Для того чтобы определить количество решений данной системы уравнений, нужно проанализировать ее с помощью методов линейной алгебры, таких как приведение к ступенчатому виду или использование матрицы. Рассмотрим систему уравнений:
- x₁ + 2x₂ - x₃ = 1
- -3x₁ + x₂ + 2x₃ = 0
- x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 2
Мы можем записать эту систему в виде матрицы коэффициентов и векторного столбца свободных членов:
Матрица коэффициентов:
- [ 1 2 -1 ]
- [ -3 1 2 ]
- [ 1 4 3 ]
Вектор свободных членов:
- [ 1 ]
- [ 0 ]
- [ 2 ]
Теперь мы можем использовать метод Гаусса для приведения матрицы к ступенчатому виду. Начнем с первой строки и будем использовать ее для обнуления элементов под ней:
- Первая строка остается без изменений: [ 1 2 -1 | 1 ]
- Ко второй строке добавим 3 первых строки: [ 0 7 -1 | 3 ]
- К третьей строке вычтем первую строку: [ 0 2 4 | 1 ]
Теперь у нас есть следующая матрица:
- [ 1 2 -1 | 1 ]
- [ 0 7 -1 | 3 ]
- [ 0 2 4 | 1 ]
Теперь мы можем продолжить процесс, чтобы привести вторую строку к более простому виду:
- Вторая строка остается: [ 0 7 -1 | 3 ]
- К третьей строке вычтем (2/7) вторую строку: [ 0 0 5/7 | -1/7 ]
Теперь окончательная матрица выглядит так:
- [ 1 2 -1 | 1 ]
- [ 0 7 -1 | 3 ]
- [ 0 0 5/7 | -1/7 ]
Теперь мы видим, что система уравнений имеет уникальное решение, так как в последней строке мы имеем ненулевой коэффициент при x₃, что указывает на то, что x₃ можно выразить явно. Таким образом, у нас есть три уравнения и три неизвестных, и все они независимы.
Ответ: Система имеет 1 решение, так как она совместна и имеет уникальное решение.
