Дана система уравнений
x1 + 2х2 - Х3 = 1 -3 · x1 + x2 + 2х3 = 0. x1 +4·x2 +3 - x3 = 2
Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?

Другие предметы Колледж Системы линейных уравнений система уравнений решения системы математика колледж линейные уравнения количество решений методы решения анализ решений математика для колледжа Новый

Для того чтобы определить количество решений данной системы уравнений, мы можем использовать метод Гаусса для приведения системы к ступенчатому виду. Рассмотрим систему уравнений:

• 1) x1 + 2x2 - x3 = 1
• 2) -3x1 + x2 + 2x3 = 0
• 3) x1 + 4x2 + 3 - x3 = 2

Сначала перепишем третье уравнение:

• 3) x1 + 4x2 - x3 = -1

Теперь у нас есть система:

• 1) x1 + 2x2 - x3 = 1
• 2) -3x1 + x2 + 2x3 = 0
• 3) x1 + 4x2 - x3 = -1

Теперь запишем эту систему в матричной форме:

А =

1  2 -1 |  1
-3  1  2 |  0
1  4 -1 | -1

Теперь будем выполнять операции над строками для приведения к ступенчатому виду. Начнем с первой строки и будем использовать её для устранения x1 из остальных строк.

1. Умножим первую строку на 3 и прибавим ко второй строке:

    1  2 -1 |  1
    0  7 -1 |  3
    1  4 -1 | -1
    

2. Теперь вычтем первую строку из третьей строки:

    1  2 -1 |  1
    0  7 -1 |  3
    0  2  0 | -2
    

Теперь у нас есть:

• 1) x1 + 2x2 - x3 = 1
• 2) 7x2 - x3 = 3
• 3) 2x2 = -2

Теперь решим третье уравнение:

• 2x2 = -2 => x2 = -1

Теперь подставим значение x2 в второе уравнение:

• 7(-1) - x3 = 3 => -7 - x3 = 3 => -x3 = 10 => x3 = -10

Теперь подставим значения x2 и x3 в первое уравнение:

• x1 + 2(-1) - (-10) = 1 => x1 - 2 + 10 = 1 => x1 + 8 = 1 => x1 = -7

Таким образом, мы получили единственное решение:

• x1 = -7
• x2 = -1
• x3 = -10

Итак, система имеет единственное решение, так как мы смогли выразить все переменные через конкретные значения. Это означает, что система является совместной и определённой.