Дано дифференциальное уравнение 2уу' = 1 – 3х².
Решите его и укажите верный вид общего решения.

• y² = Cxe⁻ˣ.
• y² = x – x³ + C.
• y = x – x³.

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения общее решение математика колледж 2уу' = 1 – 3х² y² = Cxe⁻ˣ y² = x – x³ + C y = x – x³ Новый

Для решения данного дифференциального уравнения 2uu' = 1 – 3x², начнем с того, что обозначим y' как производную функции y по переменной x. Тогда уравнение можно переписать в более удобной форме:

Шаг 1: Перепишем уравнение

У нас есть:

2y * y' = 1 - 3x²

Теперь разделим обе стороны на 2y (предполагая, что y не равно нулю):

Шаг 2: Разделение переменных

y' = (1 - 3x²) / (2y)

Теперь мы можем записать это уравнение в виде:

dy/dx = (1 - 3x²) / (2y)

Шаг 3: Умножение на 2y и интегрирование

Теперь мы можем переместить y на одну сторону и dx на другую:

2y dy = (1 - 3x²) dx

Теперь интегрируем обе стороны:

• Левая сторона: ∫2y dy = y²
• Правая сторона: ∫(1 - 3x²) dx = x - x³ + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 4: Записываем общее решение

Теперь мы можем записать общее решение:

y² = x - x³ + C

Шаг 5: Выбор правильного варианта ответа

Сравнив полученное общее решение с предложенными вариантами, мы видим, что:

• y² = Cxe⁻ˣ (неверно)
• y² = x - x³ + C (верно)
• y = x - x³ (неверно)

Таким образом, верный вид общего решения данного дифференциального уравнения:

y² = x - x³ + C