Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5, следуем следующим шагам:

1. Найдите общее решение уравнения:
   • Уравнение имеет вид линейного дифференциального уравнения первого порядка: y′ + Py = Q, где P = 2 и Q = 4.
   • Для нахождения общего решения используем метод интегрирующего множителя. Формула для интегрирующего множителя: μ(x) = e^(∫P dx).
   • В нашем случае: μ(x) = e^(∫2 dx) = e^(2x).
   • Умножаем уравнение на интегрирующий множитель: e^(2x)y′ + 2e^(2x)y = 4e^(2x).
   • Левая часть уравнения теперь является производной произведения: (e^(2x)y)′ = 4e^(2x).
   • Интегрируем обе части уравнения: ∫(e^(2x)y)′ dx = ∫4e^(2x) dx.
   • Получаем: e^(2x)y = 2e^(2x) + C, где C — константа интегрирования.
   • Разделим обе части на e^(2x): y = 2 + Ce^(-2x).
2. Примените начальное условие:
   • Начальное условие: y(0) = 5.
   • Подставим x = 0 в общее решение: 5 = 2 + Ce^0.
   • Получаем: 5 = 2 + C.
   • Решаем уравнение для C: C = 3.
3. Запишите частное решение:
   • Подставляем значение C в общее решение: y = 2 + 3e^(-2x).

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, будет y = 2 + 3e^(-2x).