Найдите общее решение уравнения x⁴y'' = 5

Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения математический анализ общее решение уравнение x⁴y'' колледж Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения x⁴y'' = 5, начнем с того, что упростим его. Это уравнение второго порядка, и мы будем решать его, интегрируя дважды.

1. Сначала выразим вторую производную y'':

   y'' = 5 / x⁴

2. Теперь интегрируем правую часть уравнения, чтобы найти первую производную y':

   y' = ∫(5 / x⁴) dx = ∫5x⁻⁴ dx

   Для интегрирования x⁻⁴ используем правило интегрирования степенных функций:

   ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C, где n ≠ -1

   В нашем случае n = -4, поэтому:

   y' = 5 * (x⁻³ / -3) + C₁ = -5/3 * x⁻³ + C₁

3. Теперь интегрируем y', чтобы найти y:

   y = ∫(-5/3 * x⁻³ + C₁) dx

   Разделим интеграл на две части:

   • ∫(-5/3 * x⁻³) dx = -5/3 * ∫x⁻³ dx = -5/3 * (x⁻² / -2) = 5/6 * x⁻²
   • ∫C₁ dx = C₁x

   Таким образом, общее решение уравнения будет:

   y = 5/6 * x⁻² + C₁x + C₂

   где C₁ и C₂ — произвольные постоянные интегрирования.

Общее решение уравнения x⁴y'' = 5 — это y = 5/6x⁻² + C₁x + C₂.