Похожие вопросы
2025-09-15 20:00:14
Дано дифференциальное уравнение: (2x / y²) ⋅ dx + (y² − 2x²) / y⁴ ⋅ dy = 0. Решите это уравнение.
- 3x² / 2y³ + (−2) / y = C₁.
- 2x² / 2y³ + (−4) / y = C₁.
- 2x² / 2y³ + (−1) / y = C₁.
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения математика колледж интегрирование математический анализ уравнения первого порядка методы решения учебные материалы примеры задач математические методы
2025-09-15 20:00:27
Давайте решим данное дифференциальное уравнение, используя метод разделения переменных.
Исходное уравнение выглядит так:
(2x / y²) ⋅ dx + (y² − 2x²) / y⁴ ⋅ dy = 0
Сначала мы можем переписать уравнение в более удобной форме:
(2x / y²) ⋅ dx = - (y² − 2x²) / y⁴ ⋅ dy
Теперь разделим переменные:
Слева у нас только переменная x, а справа - переменные y и dy. Мы можем записать:
(2x / y²) ⋅ dx = - (y² / y⁴) dy + (2x² / y⁴) dy
(2x / y²) ⋅ dx = - (1 / y²) dy + (2x² / y⁴) dy
Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Начнем с левой стороны:
- Интегрируем (2x / y²) dx:
∫ (2x / y²) dx = (x² / y²) + C₁, где C₁ - произвольная константа интегрирования.
- Теперь интегрируем правую сторону:
∫ (-1 / y²) dy + ∫ (2x² / y⁴) dy = (1 / y) + (−2 / y) + C₂, где C₂ - другая произвольная константа интегрирования.
Теперь мы можем собрать все вместе:
(x² / y²) + (1 / y) + (−2 / y) = C, где C = C₁ + C₂.
Таким образом, у нас получается:
(x² / y²) + (−1 / y) = C.
Теперь мы можем преобразовать это уравнение в более удобный вид. Умножим всё на y²:
x² - y = C y².
Таким образом, мы можем записать общее решение в виде:
3x² / 2y³ + (−2) / y = C₁, или 2x² / 2y³ + (−4) / y = C₁, или 2x² / 2y³ + (−1) / y = C₁.
Все эти уравнения представляют собой различные формы одного и того же решения, которое мы нашли.