Похожие вопросы
2025-09-14 19:06:12
Дано дифференциальное уравнение y'' + 6y' + 8y = 0.
Решите его и укажите верный вид общего решения.
- y = (C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻⁴ˣ).
- y = C₁e⁻³ˣ + C₂e⁻⁴ˣ.
- y = (C₁eˣ + C₂e⁻⁴ˣ).
Другие предметы Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения общее решение математика колледж математические методы анализ уравнений студенческая математика Дифференциальные уравнения математические задачи колледж математика
2025-09-14 19:06:26
Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, начнем с его характеристического уравнения.
Дано уравнение:
y'' + 6y' + 8y = 0
Сначала найдем характеристическое уравнение, которое выглядит следующим образом:
r² + 6r + 8 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 6, c = 8.
- Подставляем значения: D = 6² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.
Поскольку дискриминант положителен, у нас два различных вещественных корня:
- r₁ = (-b + √D) / 2a = (-6 + 2) / 2 = -4.
- r₂ = (-b - √D) / 2a = (-6 - 2) / 2 = -3.
Таким образом, мы получили два корня: r₁ = -4 и r₂ = -2.
Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
Подставляем значения корней:
y = C₁e^(-4x) + C₂e^(-2x)
Теперь сравним это решение с предложенными вариантами:
- y = (C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻⁴ˣ) - неверно, так как порядок членов не соответствует.
- y = C₁e⁻³ˣ + C₂e⁻⁴ˣ - неверно, так как один из корней не совпадает.
- y = (C₁eˣ + C₂e⁻⁴ˣ) - неверно, так как также не соответствует корням.
Таким образом, верный вид общего решения:
y = C₁e^(-4x) + C₂e^(-2x)