Чтобы найти интеграл ∫ dx / (X² − 5), начнем с разложения знаменателя. Мы можем заметить, что X² − 5 = (X - √5)(X + √5). Это позволяет нам использовать метод разложения на простейшие дроби.

1. Разложение на простейшие дроби:

• Мы можем представить функцию в следующем виде:
• 1 / (X² − 5) = A / (X - √5) + B / (X + √5).
• Для нахождения A и B, умножим обе стороны на (X - √5)(X + √5):
• 1 = A(X + √5) + B(X - √5).

2. Решение для A и B:

• Подставим X = √5:
• 1 = A(√5 + √5) + B(√5 - √5) => 1 = 2A√5 => A = 1/(2√5).
• Подставим X = -√5:
• 1 = A(-√5 + √5) + B(-√5 - √5) => 1 = -2B√5 => B = -1/(2√5).

Теперь мы можем переписать интеграл:

∫ dx / (X² − 5) = ∫ (1/(2√5) / (X - √5) - 1/(2√5) / (X + √5)) dx.

3. Интегрирование:

• Интеграл теперь можно разделить:
• ∫ dx / (X² − 5) = (1/(2√5)) ∫ (1 / (X - √5)) dx - (1/(2√5)) ∫ (1 / (X + √5)) dx.
• Теперь, используя правило интегрирования для логарифмов, получаем:
• ∫ (1 / (X - √5)) dx = ln|X - √5| + C1,
• ∫ (1 / (X + √5)) dx = ln|X + √5| + C2.

4. Собираем результаты:

Таким образом, мы получаем:

∫ dx / (X² − 5) = (1/(2√5))(ln|X - √5| - ln|X + √5|) + C.

5. Используем свойства логарифмов:

Мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить выражение:

ln|X - √5| - ln|X + √5| = ln|(X - √5)/(X + √5)|.

6. Итоговый ответ:

Таким образом, окончательно получаем:

∫ dx / (X² − 5) = (1/(2√5)) ln|(X - √5)/(X + √5)| + C.

Теперь, если мы сравним это с вашими вариантами, правильный ответ будет:

1/(2√5) ⋅ ln|(X−√5)/(X+√5)|.