Для решения задачи необходимо определить ранги основной и расширенной матриц системы уравнений, а затем выяснить количество решений. Давайте разберемся с каждым шагом:

1. Запишите систему уравнений в матричной форме:
   • Основная матрица коэффициентов:
     • 3 -1
     • 2 1
     • 1 -2
   • Расширенная матрица (добавьте столбец свободных членов):
     • 3 -1 | 1
     • 2 1 | 5
     • 1 -2 | 0
2. Определите ранг основной матрицы:
   • Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк.
   • Преобразуем строки, чтобы определить линейную независимость:
     • Первая строка: (3, -1)
     • Вторая строка: (2, 1)
     • Третья строка: (1, -2)
   • Строки не являются линейно зависимыми, так как ни одна из них не может быть получена из другой путем умножения на константу или сложения.
   • Следовательно, ранг основной матрицы равен 3.
3. Определите ранг расширенной матрицы:
   • Рассматриваем строки расширенной матрицы:
     • Первая строка: (3, -1, 1)
     • Вторая строка: (2, 1, 5)
     • Третья строка: (1, -2, 0)
   • Проверяем линейную независимость так же, как в основной матрице.
   • Строки расширенной матрицы также являются линейно независимыми.
   • Таким образом, ранг расширенной матрицы также равен 3.
4. Определите количество решений системы:
   • Если ранги основной и расширенной матриц равны, и они равны количеству переменных (в данном случае 2), то система имеет единственное решение.
   • Однако в данном случае ранг (3) больше количества переменных (2), что означает, что система несовместна и не имеет решений.

Теперь установим соответствие между характеристиками и их значениями:

• A. Ранг основной матрицы - E. 3
• B. Ранг расширенной матрицы - E. 3
• C. Количество решений системы - F. 0