Доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Другие предметы Колледж Пределы функций теорема о пределе промежуточная функция математический анализ доказательство теоремы предел функции колледж математика Новый

Теорема о пределе промежуточной функции утверждает, что если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b] и x стремится к некоторой точке c из этого промежутка, то предел функции f(x) при x, стремящемся к c, равен f(c). То есть:

Если x → c, то f(x) → f(c).

Теперь давайте подробно разберем доказательство этой теоремы.

1. Определение непрерывности: Начнем с определения непрерывности функции. Функция f(x) считается непрерывной в точке c, если выполняется следующее:
• f(c) определена;
• lim (x → c) f(x) существует;
• lim (x → c) f(x) = f(c).
2. Существование предела: Предположим, что x стремится к c. По определению предела, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если 0 < |x - c| < δ, то |f(x) - L| < ε, где L - это предполагаемый предел.
3. Показать, что L = f(c): Мы должны показать, что L = f(c). Поскольку функция f непрерывна в точке c, для любого ε > 0 существует δ' > 0, такое что если |x - c| < δ', то |f(x) - f(c)| < ε. Это значит, что для достаточно малых значений |x - c|, значения f(x) будут находиться в ε-окрестности f(c).
4. Сравнение пределов: Теперь, выбрав δ = min(δ', δ''), где δ'' - это значение, соответствующее ε для предела, мы видим, что когда |x - c| < δ, то одновременно выполняются оба условия:
• |f(x) - L| < ε;
• |f(x) - f(c)| < ε.
5. Заключение: Таким образом, для любого ε > 0 мы можем найти такое δ, что если |x - c| < δ, то |f(x) - f(c)| < ε, что и доказывает, что lim (x → c) f(x) = f(c).

Итак, мы пришли к заключению, что если функция f непрерывна в точке c, то предел функции f(x) при x, стремящемся к c, равен f(c). Это и есть суть теоремы о пределе промежуточной функции.