Похожие вопросы
2025-03-04 03:18:28
Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² − 3) / (x² − 3x + 2), x -> 2
Другие предметы Колледж Пределы функций предел по правилу Лопиталя математический анализ колледж предел функции ln(x² − 3) x² − 3x + 2 вычисление предела
2025-07-19 12:57:12
Для вычисления предела выражения lim ln(x² − 3) / (x² − 3x + 2), x -> 2 с использованием правила Лопиталя, сначала проверим, подходит ли оно для применения этого правила. Правило Лопиталя применяется в случае неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.
Подставим x = 2 в числитель и знаменатель:
- Числитель: ln(2² - 3) = ln(4 - 3) = ln(1) = 0.
- Знаменатель: 2² - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0.
Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0/0, и можем применить правило Лопиталя.
Правило Лопиталя гласит, что если предел функции f(x)/g(x) при x стремящемся к a приводит к неопределенности вида 0/0, то:
lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)), где f'(x) и g'(x) - производные числителя и знаменателя соответственно.
Теперь найдем производные:
- Числитель: f(x) = ln(x² - 3). Производная f'(x) = (1/(x² - 3)) * (2x) = 2x/(x² - 3).
- Знаменатель: g(x) = x² - 3x + 2. Производная g'(x) = 2x - 3.
Теперь применим правило Лопиталя:
lim (2x/(x² - 3))/(2x - 3), x -> 2.
Подставим x = 2 в новое выражение:
- Числитель: 2*2/(2² - 3) = 4/(4 - 3) = 4.
- Знаменатель: 2*2 - 3 = 4 - 3 = 1.
Таким образом, предел равен:
4/1 = 4.
Ответ: Предел выражения равен 4.
