Доказать теоремы Ролля и Ферма.

Другие предметы Колледж Дифференциальное исчисление теорема Ролля теорема Ферма доказательство теорем математический анализ колледж учебные материалы задачи по математическому анализу Новый

Давайте рассмотрим доказательства теорем Ролля и Ферма. Эти теоремы являются важными результатами в математическом анализе и имеют множество приложений.

Теорема Ролля

Теорема Ролля утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), и при этом f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), такая что f'(c) = 0.

Доказательство этой теоремы можно разбить на несколько шагов:

1. Непрерывность и дифференцируемость: Убедимся, что функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы. Она должна быть непрерывной на [a, b] и дифференцируемой на (a, b).
2. Применение теоремы о максимуме: Поскольку f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], по теореме о максимуме, она достигает своих максимумов и минимумов на этом отрезке. Обозначим максимальное значение функции как M и минимальное значение как m.
3. Сравнение значений: Поскольку f(a) = f(b), то максимальное значение M и минимальное значение m должны находиться на границах или внутри интервала (a, b).
4. Нахождение производной: Если M достигается в точке c, то в этой точке производная f'(c) должна равняться 0 (по теореме о необходимом условии экстремума). Если m достигается в точке d, то f'(d) также равно 0.
5. Заключение: Таким образом, мы показали, что существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), такая что f'(c) = 0.

Теорема Ферма

Теорема Ферма является частным случаем теоремы Ролля. Она утверждает, что если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке c, и f'(c) существует, то f'(c) = 0.

Доказательство теоремы Ферма можно рассмотреть следующим образом:

1. Определение локального экстремума: Предположим, что f(x) имеет локальный максимум в точке c. Это значит, что существует окрестность точки c, в которой f(c) ≥ f(x) для всех x.
2. Применение определения производной: Если f'(c) существует, то по определению производной, мы можем записать:
• f'(c) = lim (h -> 0) [f(c + h) - f(c)] / h.
3. Анализ предела: Если h > 0, то f(c + h) ≤ f(c), и следовательно, [f(c + h) - f(c)] / h ≤ 0. Если h < 0, то f(c + h) ≤ f(c), и [f(c + h) - f(c)] / h ≥ 0.
4. Заключение: Таким образом, мы приходим к выводу, что f'(c) = 0, так как производная не может быть одновременно положительной и отрицательной.

Таким образом, мы доказали обе теоремы: теорему Ролля и теорему Ферма. Эти теоремы играют ключевую роль в анализе функций и помогают в изучении их поведения.