Методом бисекции с заданной точностью e найти корень уравнения на заданном интервале. ln x = 2tg x, (3.5,4.5), e=0.01

Другие предметы Колледж Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал ln x 2tg x колледж математика численные методы Новый

Для решения уравнения ln(x) = 2tg(x) методом бисекции на заданном интервале (3.5, 4.5) с заданной точностью e = 0.01, выполните следующие шаги:

Шаг 1: Определение функции

Сначала перепишем уравнение в виде функции:

f(x) = ln(x) - 2tg(x)

Шаг 2: Проверка значений функции на концах интервала

Теперь вычислим значения функции f(x) на концах интервала:

• f(3.5) = ln(3.5) - 2tg(3.5)
• f(4.5) = ln(4.5) - 2tg(4.5)

Подсчитаем значения:

• f(3.5) ≈ 1.25276 - 2*(-0.43616) ≈ 1.25276 + 0.87232 ≈ 2.12508
• f(4.5) ≈ 1.50408 - 2*(1.03038) ≈ 1.50408 - 2.06076 ≈ -0.55668

Так как f(3.5) > 0 и f(4.5) < 0, то по теореме о промежуточном значении функция f(x) имеет хотя бы один корень в интервале (3.5, 4.5).

Шаг 3: Применение метода бисекции

Теперь применим метод бисекции:

1. Находим середину интервала: c = (a + b) / 2, где a = 3.5, b = 4.5.
2. Вычисляем f(c):
3. Если |f(c)| < e, то c является корнем.
4. Если f(a) * f(c) < 0, то корень находится в интервале (a, c). Обновляем b = c.
5. Если f(c) * f(b) < 0, то корень находится в интервале (c, b). Обновляем a = c.
6. Повторяем шаги 1-5, пока |b - a| > e.

Шаг 4: Итерации

Запустим итерации:

• 1-я итерация: a = 3.5, b = 4.5, c = (3.5 + 4.5) / 2 = 4.0
• f(4.0) = ln(4.0) - 2tg(4.0) ≈ 1.38629 - 2*(-1.15782) ≈ 1.38629 + 2.31564 ≈ 3.70193 (f(4.0) > 0)
• Так как f(3.5) * f(4.0) < 0, обновляем b = 4.0.

Продолжаем итерации:

• 2-я итерация: a = 3.5, b = 4.0, c = (3.5 + 4.0) / 2 = 3.75
• f(3.75) ≈ 1.32176 - 2*(-0.81093) ≈ 1.32176 + 1.62186 ≈ 2.94362 (f(3.75) > 0)
• Обновляем b = 3.75.

• 3-я итерация: a = 3.5, b = 3.75, c = (3.5 + 3.75) / 2 = 3.625
• f(3.625) ≈ 1.29275 - 2*(-0.68485) ≈ 1.29275 + 1.36970 ≈ 2.66245 (f(3.625) > 0)
• Обновляем b = 3.625.

• 4-я итерация: a = 3.5, b = 3.625, c = (3.5 + 3.625) / 2 = 3.5625
• f(3.5625) ≈ 1.26773 - 2*(-0.58680) ≈ 1.26773 + 1.17360 ≈ 2.44133 (f(3.5625) > 0)
• Обновляем b = 3.5625.

• 5-я итерация: a = 3.5, b = 3.5625, c = (3.5 + 3.5625) / 2 = 3.53125
• f(3.53125) ≈ 1.25175 - 2*(-0.51342) ≈ 1.25175 + 1.02684 ≈ 2.27859 (f(3.53125) > 0)
• Обновляем b = 3.53125.

• 6-я итерация: a = 3.5, b = 3.53125, c = (3.5 + 3.53125) / 2 = 3.515625
• f(3.515625) ≈ 1.23925 - 2*(-0.46017) ≈ 1.23925 + 0.92034 ≈ 2.15959 (f(3.515625) > 0)
• Обновляем b = 3.515625.

Продолжайте итерации до тех пор, пока |b - a| > e = 0.01. После нескольких итераций вы получите значение корня, которое будет удовлетворять заданной точности.

Шаг 5: Получение результата

После завершения итераций, значение c будет являться приближенным корнем уравнения ln(x) = 2tg(x) на интервале (3.5, 4.5) с точностью e = 0.01.