Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале.
x⁵+2х - 8 = 0, (1,1.5), ε = 0.01

• 1.40
• 0.11
• 0.0000011
• 0.0017

Другие предметы Колледж Метод бисекции метод бисекции вычислительные методы корень уравнения заданная точность интервал колледж x5+2x-8=0 ε=0.011 Новый

Для решения уравнения x⁵ + 2x - 8 = 0 методом бисекции на заданном интервале (1, 1.5) с точностью ε = 0.001, мы будем следовать следующему алгоритму:

1. Определение функции: Сначала определим функцию, которую мы будем исследовать.
2. Проверка знаков: Проверим значения функции на концах интервала.
3. Применение метода бисекции: Будем делить интервал пополам и проверять, в какой части находится корень.
4. Проверка точности: Продолжим деление до достижения заданной точности ε.

Теперь подробно рассмотрим каждый шаг:

1. Определение функции:

   Функция f(x) = x⁵ + 2x - 8.

2. Проверка знаков:

   Сначала вычислим значения функции на концах интервала:

   • f(1) = 1⁵ + 2*1 - 8 = 1 + 2 - 8 = -5
   • f(1.5) = (1.5)⁵ + 2*1.5 - 8 ≈ 7.59375 + 3 - 8 = 2.59375

   Так как f(1) < 0 и f(1.5) > 0, то по теореме Больцано в интервале (1, 1.5) есть корень.

3. Применение метода бисекции:

   Теперь будем делить интервал пополам:

   • На первом шаге: x₁ = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
   • f(1.25) = (1.25)⁵ + 2*1.25 - 8 ≈ -1.484375
   • Так как f(1) < 0 и f(1.25) < 0, корень находится в интервале (1.25, 1.5).

   Теперь делим новый интервал:

   • На втором шаге: x₂ = (1.25 + 1.5) / 2 = 1.375
   • f(1.375) = (1.375)⁵ + 2*1.375 - 8 ≈ 0.3583984375
   • Корень теперь находится в интервале (1.25, 1.375).

   Продолжаем деление:

   • На третьем шаге: x₃ = (1.25 + 1.375) / 2 = 1.3125
   • f(1.3125) ≈ -0.548828125, корень в (1.3125, 1.375).
   • На четвертом шаге: x₄ = (1.3125 + 1.375) / 2 = 1.34375
   • f(1.34375) ≈ -0.099609375, корень в (1.34375, 1.375).
   • На пятом шаге: x₅ = (1.34375 + 1.375) / 2 = 1.359375
   • f(1.359375) ≈ 0.126953125, корень в (1.34375, 1.359375).
   • На шестом шаге: x₆ = (1.34375 + 1.359375) / 2 = 1.3515625
   • f(1.3515625) ≈ 0.013427734375, корень в (1.34375, 1.3515625).
   • На седьмом шаге: x₇ = (1.34375 + 1.3515625) / 2 = 1.34765625
   • f(1.34765625) ≈ -0.0439453125, корень в (1.34765625, 1.3515625).
   • На восьмом шаге: x₈ = (1.34765625 + 1.3515625) / 2 = 1.349609375
   • f(1.349609375) ≈ -0.015625, корень в (1.349609375, 1.3515625).
   • На девятом шаге: x₉ = (1.349609375 + 1.3515625) / 2 = 1.3505859375
   • f(1.3505859375) ≈ -0.001953125, корень в (1.3505859375, 1.3515625).
   • На десятом шаге: x₁₀ = (1.3505859375 + 1.3515625) / 2 = 1.35107421875
   • f(1.35107421875) ≈ 0.005859375, корень в (1.3505859375, 1.35107421875).
4. Проверка точности:

   Мы продолжаем этот процесс, пока длина интервала не станет меньше ε. На последнем шаге длина интервала составляет 1.35107421875 - 1.3505859375 = 0.00048828125, что меньше 0.001.

   Таким образом, корень уравнения x⁵ + 2x - 8 = 0 на интервале (1, 1.5) с заданной точностью ε = 0.001 равен примерно 1.3505859375.