Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале. x³- 10х + 1 = О, (0,1), ε = 0.05

• 0.01
• 0.09
• 0.9
• 0.0017

Другие предметы Колледж Метод бисекции вычислительные методы метод бисекции корень уравнения заданная точность интервал x3-10x+1=0 ε=0.05 ε=0.01 ε=0.09 ε=0.001 колледж Новый

Для нахождения корня уравнения x^3 - 10x + 1 = 0 методом бисекции на заданном интервале (0, 1) с заданной точностью ε, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте подробно разберем этот процесс.

Шаг 1: Проверка наличия корня на интервале

Сначала нам нужно убедиться, что в интервале (0, 1) действительно есть корень. Для этого мы вычислим значения функции в границах интервала:

• f(0) = 0^3 - 10*0 + 1 = 1
• f(1) = 1^3 - 10*1 + 1 = 1 - 10 + 1 = -8

Значения функции имеют разные знаки (f(0) > 0 и f(1) < 0), значит, по теореме Больцано, в интервале (0, 1) есть хотя бы один корень.

Шаг 2: Применение метода бисекции

Теперь мы можем применить метод бисекции. Суть метода заключается в следующем:

1. Находим середину интервала: c = (a + b) / 2, где a и b - границы интервала.
2. Вычисляем значение функции в середине: f(c).
3. Определяем, в какой половине интервала находится корень:
• Если f(a) * f(c) < 0, то корень находится в интервале (a, c);
• Если f(c) * f(b) < 0, то корень находится в интервале (c, b).
4. Повторяем процесс, пока длина интервала (b - a) не станет меньше ε.

Шаг 3: Итерации

Начнем с a = 0 и b = 1.

• Итерация 1:
• c = (0 + 1) / 2 = 0.5
• f(0.5) = 0.5^3 - 10*0.5 + 1 = 0.125 - 5 + 1 = -3.875
• Корень находится в (0, 0.5), так как f(0) * f(0.5) > 0.
• Итерация 2:
• a = 0, b = 0.5
• c = (0 + 0.5) / 2 = 0.25
• f(0.25) = 0.25^3 - 10*0.25 + 1 = 0.015625 - 2.5 + 1 = -1.484375
• Корень находится в (0, 0.25).
• Итерация 3:
• a = 0, b = 0.25
• c = (0 + 0.25) / 2 = 0.125
• f(0.125) = 0.125^3 - 10*0.125 + 1 = 0.001953125 - 1.25 + 1 = -0.248046875
• Корень находится в (0, 0.125).
• Итерация 4:
• a = 0, b = 0.125
• c = (0 + 0.125) / 2 = 0.0625
• f(0.0625) = 0.0625^3 - 10*0.0625 + 1 = 0.000244140625 - 0.625 + 1 = 0.375244140625
• Корень находится в (0.0625, 0.125).
• Итерация 5:
• a = 0.0625, b = 0.125
• c = (0.0625 + 0.125) / 2 = 0.09375
• f(0.09375) = 0.09375^3 - 10*0.09375 + 1 = 0.000873565673828125 - 0.9375 + 1 = 0.063373565673828125
• Корень находится в (0.0625, 0.09375).
• Итерация 6:
• a = 0.0625, b = 0.09375
• c = (0.0625 + 0.09375) / 2 = 0.078125
• f(0.078125) = 0.078125^3 - 10*0.078125 + 1 = 0.000457763672 - 0.78125 + 1 = 0.219457763672.
• Корень находится в (0.0625, 0.078125).

Продолжая этот процесс, мы будем уменьшать интервал, пока его длина не станет меньше ε. В результате, мы получим корень уравнения с необходимой точностью.

Заключение

Метод бисекции позволяет находить корни уравнений с заданной точностью. В данном случае, мы можем продолжить итерации, пока не достигнем заданного значения ε. Важно помнить, что метод требует, чтобы функция была непрерывной и имела разные знаки на концах интервала.