Методом бисекции с заданной точностью ε найти корень уравнения на заданном интервале.
x3 – 10x + 1 = 0, (0,1), ε = 0.05

• 0.0017
• 0.01
• 0.09
• 0.9

Другие предметы Колледж Метод бисекции вычислительные методы метод бисекции корень уравнения заданная точность интервал x3 – 10x + 1 = 0 ε = 0.05 Новый

Метод бисекции - это численный метод нахождения корней уравнений, который основан на теореме о промежуточном значении. Давайте разберем, как применить этот метод к уравнению x³ - 10x + 1 = 0 на заданном интервале (0, 1) с точностью ε = 0.001.

Шаги решения:

1. Определение функции: Сначала определим функцию, которую мы будем исследовать:
• f(x) = x³ - 10x + 1
2. Проверка значений функции на границах интервала: Вычислим значения функции на концах интервала:
• f(0) = 0³ - 10*0 + 1 = 1
• f(1) = 1³ - 10*1 + 1 = 1 - 10 + 1 = -8

Так как f(0) > 0 и f(1) < 0, значит, по теореме о промежуточном значении, существует хотя бы один корень в интервале (0, 1).

3. Применение метода бисекции: Начнем с интервала [a, b] = [0, 1]. На каждом шаге будем вычислять середину интервала c = (a + b) / 2 и проверять знак функции в этой точке:
• 1. a = 0, b = 1
• 2. c = (0 + 1) / 2 = 0.5
• 3. f(0.5) = 0.5³ - 10*0.5 + 1 = 0.125 - 5 + 1 = -3.875
• 4. Так как f(0) > 0 и f(0.5) < 0, новый интервал [0, 0.5].
• 5. a = 0, b = 0.5
• 6. c = (0 + 0.5) / 2 = 0.25
• 7. f(0.25) = 0.25³ - 10*0.25 + 1 = 0.015625 - 2.5 + 1 = -1.484375
• 8. Новый интервал [0, 0.25].
• 9. a = 0, b = 0.25
• 10. c = (0 + 0.25) / 2 = 0.125
• 11. f(0.125) = 0.125³ - 10*0.125 + 1 = 0.001953125 - 1.25 + 1 = -0.248046875
• 12. Новый интервал [0, 0.125].
• 13. a = 0, b = 0.125
• 14. c = (0 + 0.125) / 2 = 0.0625
• 15. f(0.0625) = 0.0625³ - 10*0.0625 + 1 = 0.000244140625 - 0.625 + 1 = 0.375244140625
• 16. Новый интервал [0.0625, 0.125].
4. Продолжение итераций: Повторяем процесс, каждый раз сокращая интервал, пока длина интервала не станет меньше ε:
• 17. a = 0.0625, b = 0.125
• 18. c = (0.0625 + 0.125) / 2 = 0.09375
• 19. f(0.09375) = 0.09375³ - 10*0.09375 + 1 = -0.06640625
• 20. Новый интервал [0.09375, 0.125].
• ... (продолжаем до достижения необходимой точности)
5. Завершение: После нескольких итераций мы получим значение c, которое будет являться приближением корня уравнения с заданной точностью ε.

Таким образом, метод бисекции позволяет последовательно сокращать интервал, в котором находится корень, и приближаться к его значению с заданной точностью.